Глава 3. Сложное суждение и его виды

Сложные суждения — это суждения, которые состоят из двух или большего числа простых суждений, единичных утверждений или отрицаний, соединенных особыми логическими союзами (пропозициональными связками). Следует обратить внимание на то обстоятельство, что между простыми и сложными суждениями существуют своеобразные переходные формы — то т.н. простые суждения со сложными субъектами или сложными предикатами.

Простыми суждениями со сложными субъектами являются суждения, у которых имеется один предикат и субъект, состоящий из двух или более различных частей, каждая из которых может считаться самостоятельным субъектом, например: «Петров и Иванов являются студентами-юристами». Форма такого суждения следующая:

(S1 и s2 суть р)

Простыми суждениями со сложными предикатами являются суждения, у которых имеется один субъект и предикат, состоящий из двух частей, каждая из которых может считаться самостоятельным предикатом, например: «Петров является студентом и занимается спортом». Форма такого суждения следующая:

(S есть р1 и р2)

Истинность таких суждений зависит от того, обладают ли признаком Р оба субъекта S1 и S2 — для первых; и обладает ли субъект S признаками, заключенными в обоих предикатах Р1 и Р2 — для вторых. Считается, что в случае простых суждений со сложными субъектами или сложными предикатами имеют место сложные суждения, взятые в сокращенной форме. Полная форма таких суждений может быть записана следующим образом:

(S1 есть Р) и (S2 есть Р) — для первых,

(S есть Р1) и (S есть Р2) — для вторых.

К числу основных логических союзов (пропозициональных связок), с помощью которых из простых образуются сложные суждения, а также из одних сложных суждений образуются еще более сложные, относятся союзы, которые выражаются в обычном языке выражаются словами: «и», «или», «либо», «если… , то», «если и только если», а также синонимичными им выражениями.

«И» — конъюнкция, или соединительный союз;

«ИЛИ» — слабая дизъюнкция, или слабый разделительный союз;

«ЛИБО» («ИЛИ… ИЛИ») — строгая дизъюнкция, или строго разделительный союз;

«ЕСЛИ… , ТО» — импликация, или условный союз;

«ЕСЛИ И ТОЛЬКО ЕСЛИ» («ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА») — эквивалентность.

В сводном виде информация о союзах представлена в таблице на Рис.14.

Рис. 14

Примечание: для обозначения тех или иных союзов иногда используются символы, отличные от тех, которые даны на Рис. 14.

Кроме союзов, в образовании сложных суждений важную роль играет операция отрицания суждений. Операция отрицания суждений в языке выражается словами «НЕТ», «НЕВЕРНО, ЧТО» и некоторыми другими. В языке современной логики ее зачастую изображают черточкой (чертой) на символом (формулой) суждения, или символом (¬). В данном пособии в силу технических обстоятельств применяются оба способа символического изображения отрицания. Так, отрицание простого суждения можно изобразить следующим образом: (¬А), читается как «не-А», или «неверно, что А».

Содержательная характеристика логических союзов и операции отрицания, связанная с истинностью суждений, вводится с помощью так называемых таблиц истинности сложных суждений (см. Рис. 15). Эти таблицы рассматриваются также в качестве особых табличных определений логических союзов и операции отрицания.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

А

В

А^В

АvВ

А В

А→В

А↔В

¬А

¬В

(А→В)→(¬В→¬А)

1

И

И

И

И

Л

И

И

Л

Л

(А→В)

(¬В→¬А)

1 3 2

7

4 6 5

и И и

И

л И л

2

И

Л

Л

И

И

Л

Л

Л

И

и Л л

И

и Л л

3

Л

И

Л

И

И

И

Л

И

Л

л И и

И

л И и

4

Л

Л

Л

Л

Л

И

И

И

И

л И л

И

и И и

Рис. 15

В таблице на Рис. 15 простые суждения обозначены первыми заглавными буквами латинского алфавита, символы даны согласно Рис. 14, за исключением операции отрицания, что было оговорено выше.

Опираясь на Рис. 15 можно дать следующие развернутые определения логических союзов и операции отрицания:

Конъюнкция — это логический союз, с помощью которого из двух или большего числа исходных суждений образуется новое суждение (конъюнктивное суждение, или просто конъюнкция), которое истинно тогда и только тогда, когда истинны все исходные суждения, и ложно во всех остальных случаях.

В таблице (Рис. 15) на это указывают значения в четвертом столбце. Истинной является конъюнкция только в первой строке столбца. Сама таблица строится следующим образом: в первом столбце пронумерованы строки, которых для рассматриваемых случаев достаточно четырех. Это связано с количеством простых суждений, входящих в состав сложного. В общем случае число строк в таблице определяется по формуле 2ⁿ, где n — число разных простых суждений, сколько бы раз каждое из них не повторялось в составе сложного суждения. Если простых суждений 2, что число строк — 2² = 4.

Далее, в столбцах 4–8 даны все возможные истинностные значения для соответствующих союзов, соединяющих только по два простых суждения, взятых без операции отрицания.

В 9-м и 10-м столбцах приведены значения для отрицания простых суждений А и В по отдельности.

Наконец, в 11-м столбце приведены значения для более сложного, чем 4–8, случая, в котором сложное суждение образуется из двух других, каждое из которых также является сложным суждением, и при этом во втором из них дважды применяется операция отрицания.

Слабая, или нестрого разделительная дизъюнкция — это логический союз, с помощью которого из двух или большего числа исходных суждений образуется новое сложное суждения (дизъюнктивное, или просто дизъюнкция), которое истинно во всех случаях, когда истинно хотя бы одно из исходных суждений, и ложно, когда ложны все исходные суждения. В таблице на Рис. 15 на ложность слабой дизъюнкции указывает значение «Л» в четвертой строке пятого столбца, для случая, когда А и В имеют одновременно также значение «Л».

Сильная, или строго разделительная дизъюнкция — это логический союз, с помощью которого также из двух или большего числа исходных образуется новое сложное суждение (строгая дизъюнкция), которое истинно тогда и только тогда, когда истинно лишь одно из всех исходных суждений, и ложно во всех остальных случаях. В таблице на Рис. 15 это представлено столбцом 6. В нем значение «И» имеет место во 2-й и 3-й строках, когда A и B имеют разные значения, а значение «Л» — в 1-й и 4-й строках, когда A и B имеют одинаковые значения: «ИИ» и «ЛЛ», соответственно.

Относительно импликации и эквивалентности, прежде чем давать их табличные определения, следует сделать оговорку. С помощью этих союзов новое суждение всегда образуется из двух исходных, которые, правда, в свою очередь, могут быть простыми или сложными. Первые члены импликативных и эквивалентных суждений называются антецедентами, или предшествующими членами, вторые — консеквентами, или последующими членами.

Импликация — это логический союз, с помощью которого из двух простых или сложных суждений образуется новое, которое истинно во всех случаях, кроме одного, а именно, оно ложно, когда истинен первый член (антецедент), а второй (концеквент) имеет значение «Л». Иначе говоря, из истины не может следовать ложное суждение.

С импликацией связана определённая трудность для обычного, содержательного понимания связи «Если…, то…». С помощью этого союза содержательно чаще всего выражают связь причины и следствия, условия и некоторого результата, или действия. Поэтому содержательно не очень понятно, почему в 3-й и 4-й строках импликацию нужно считать истинной. Эти случаи даже получили особое название — «парадоксы материальной импликации», то есть содержательной. Не вдаваясь в детали, скажем, что здесь мы имеем дело с формальным союзом «Если…, то…», который распространяется на все четыре возможных варианта соединения значений истинности для двух суждений, взятых со стороны их формы.

Весь имеющийся опыт использования импликации говорит в пользу того, что в этих строках импликативное суждение нужно считать истинным. Хотя в обычном опыте мы имеем дело всегда с содержательными случаями, подпадающими под значение первых двух строк таблицы для импликации. Достаточно сказать, что так ведут себя все известные технические схемы, которые моделируют связь «Если…, то…». В современной логике для того, чтобы уловить все оттенки содержательного (материального) значения союза «Если…, то…», разрабатываются специальные формальные варианты, например, так называемой «сильной импликации».

Эквивалентность — это логический союз, с помощью которого образуется новое суждение, всегда из двух исходных, которое истинно тогда, когда оба входящие в него суждения (антецедент и консеквент) имеют одинаковые значения истинности, то есть оба имеют значение «И» или оба имеют значение «Л». И ложное — когда антецедент и консеквент имеют разные значения: строки 3 и 4 в таблице, 8-й столбец (Рис. 15). Следует обратить внимание на соответствующие значения эквивалентности и строгой дизъюнкции: они имеют для всех строк (столбцы 6 и 8 Рис. 15) разные значения — там, где дизъюнкция строгая даёт «И» — там эквивалентность даёт «Л», и наоборот. Поэтому данные союзы называют иногда «антиэквивалентностью» и «антидизъюнкцией», соответственно.

Отрицание — это логическая операция, с помощью которой образуется новое суждение (отрицание первого), истинное, когда исходное имеет значение «Л», и ложное когда исходное имеет значение «И». В столбцах 9 и 10 (Рис. 15) даны результаты отрицания простых суждений A и B. С операцией отрицания связан интересный закон — закон двойного (или чётного) отрицания. Этот закон гласит: двойное отрицание (любое четное число отрицаний) суждения образует суждение, истинность которого совпадает с истинностью исходного суждения. Этот закон говорит также о том, что одно или нечетное число отрицаний одного и того же суждения образует суждение, значение которого противоположно значению исходного отрицаемого суждения. В реальной жизни со многими отрицаниями мы сталкиваемся, например, в ситуациях дачи многократных показаний, либо одним и тем же человеком, либо разными людьми по поводу высказываний (суждений) других людей. В первом случае имеет место противоречие самому себе, во втором случае — противоречие с показаниями опрошенных ранее.

В 11-м столбце таблицы на Рис. 15 приведены истинностные значения сложного суждения, у которого части в свою очередь представляют собой сложные суждения. Составление таблиц для форм сложных суждений со сложными частями происходит в определённом порядке, как, например, действия в сложных арифметических и алгебраических выражениях. Суть этого порядка заключается в том, что выясняется последовательность, в которой образуются истинностные значения исходных и более сложных частей. Исходным уровнем здесь являются истинностные значения простых суждений, взятых без отрицания. Затем учитывается отрицание простых суждений (значения истинности при этом меняются на противоположные). Затем устанавливается истинность сложных частей, состоящих из двух простых, или большего числа — для конъюнкции, дизъюнкции и строгой дизъюнкции, как с отрицанием, так и без них, которые образуют самостоятельные члены сложного суждения, о чем говорят одинарные скобки. Затем устанавливается истинностное значение выражений следующего уровня (двойные скобки) и т.д. Если нужно — учитывается отрицание сложных суждений, то есть когда отрицание относится ко всему сложному выражению, стоящему в одинарных, двойных и т.д. скобках.

Для выражения, взятого в 11-м столбце на Рис. 15, построение таблицы истинности заключается в следующем:

1) устанавливаются значения A и B (берутся из столбцов 2 и 3);

2) устанавливаются значения для отрицаний A и B (столбцы 9 и 10) соответственно;

3) устанавливается значение правой скобки — (А → В) (можно взять из столбца 7 для импликации двух утвердительных суждений A и B);

4) устанавливается значение истинности для правой скобки путем применения определения импликации — (¬В → ¬А) («Л», когда антецедент «И», а консеквент «Л»);

5) наконец, также по определению импликации, устанавливается истинность всего выражения на основании знания значений истинности левой и правой скобок на основе все того же общего определения истинности для операции импликации.

В итоге обнаруживается интересный случай — мы получили форму суждения, для которой во всех возможных четырех случаях имеет место значение «И». Такие формы называются тождественно-истинными формами. Эти формы выражают логические законы, или правила вывода. Данный закон (правило) говорит о том, что правая и левая скобки, точнее суждения, с формами, стоящими в этих скобках, всегда имеют такие значения истинности, которые сохраняют истинность всего выражения. В подобных суждениях левую часть можно всегда заменить на правую, т.к. они находятся в отношении эквивалентности.

Рассмотренные выше определения логических союзов (пропозициональных связок) и операции отрицания могут быть использованы для формального определения условий истинности любого сложного суждения, коль скоро выявлена его логическая форма. Эти определения также используются для определения параметров сложных схем, например, электрических, формальная структура которых аналогична структуре соответствующих сложных суждений (см. раздел I, глава 3 о теоретическом и практическом значении логики).

На основе формальных и содержательных (истинностных) особенностей простых и сложных суждений различных видов в следующем — пятом — разделе будут рассмотрены особенности различных видов умозаключений, в которых суждения выполняют функции посылок и заключений.