Построение эпюр изгибающих и крутящих моментов по длине вала
1.1 Расчетная схема. Исходные данные
Расчетная схема вала и выбранная система отсчета представлены на
рис.1.1.
М1= М2 = 15 Н·м;
Ft = 300 Н;
Fr = 100 Н;
ℓ1 = 150 мм;
ℓ2 = 200 мм;
ℓ3= 50 мм;
сталь 45;
[τ] = 25 Н/мм2
Рис.1.1 Расчетная схема вала
Определение реакций связей в опорах (реакций опор)
Вал подвергается изгибу и кручению одновременно.
В
вертикальной плоскости YOZ
действуют:
радиальная сила
и реакции в опорах
и
,
которые определяются из уравнений
равновесия:
1).
,
RBY
( ℓ1 + ℓ2) - Frℓ1
= 0,
откуда
RBY
=
=
= 42,8 Н.
2).
= 0, Frℓ2
– RAY
(ℓ1+
ℓ2)
= 0,
RAY
=
=
= 57,2 H.
Проверка правильности определения реакций опор по уравнению равновесия сил:
,
RAY
– Fr
+ FBY
= 0; 57,2 – 100 + 42,8 = 0.
Реакции опор определены верно:
RAY = 57,2 H, RBY = 42,8 H.
В
горизонтальной плоскости XOZ
действуют окружная сила
и реакции в опорах
и
,
которые также определяются из уравнений
равновесия.
1).
=
0, RBX
(ℓ1 + ℓ2) - Ftℓ1
= 0,
RBX
=
=
= 128,6 H.
2).
,
Ftℓ2
– RAX(ℓ1
+ ℓ2) = 0,
RAX
=
=
= 171,4 H.
Проверка правильности определения реакций опор:
;
RAX
– Ft
+ RBX
= 0; 171,4 – 300 + 128,6 = 0.
Реакции опор определены верно: RAX = 171,4 ; RBX = 128,6 H.
1.3 Определение функций изгибающих моментов Мх(z)
и вычисление их значений
Изгибающий момент относительно оси Х возникает под действием , , и определяется методом сечений на каждом участке. В рассматриваемой задачи вал делится на три участка по границам приложения внешних сил, определяем функции Мх (z) и вычисляем их значения.
Участок 1. 0 ≤ z ≤ ℓ1 , Мх (z) = RAY ·z - линейная функция (наклонная прямая).
z = 0 , Мх (z) = 0;
z = ℓ1 = 150 мм, Мх (z) = 57,2 · 150 = 8580 Н·мм = 8,58 Н·м.
Участок 2. ℓ1 ≤ z ≤ (ℓ1+ ℓ2) , Мх (z)= RAY·z - Fr(z - ℓ1) - линейная функция (наклонная прямая).
z = ℓ1, Мх (z) = RAYℓ1 = 57,2 ·150 = 8580 Н·мм = 8,58 Н·м;
z = ℓ1+ℓ2 = 350 мм,
Мх (z) = RAY(ℓ1+ ℓ2) - Fr ℓ2 = 57,2 (150+200) - 100·200=0.
Участок 3. (ℓ1+ ℓ2) ≤ z ≤ (ℓ1+ ℓ2+ ℓ3)
Мх (z) = RAYz - Fr(z - ℓ1) + RBY(z - ℓ1 - ℓ2);
z = ℓ1 + ℓ2 = 150 + 200 = 350 мм;
Мх (z) = 57,2 ∙350 – 100 (350 – 150) + 42,8 (350 – 150 – 200) = 0.
z = ℓ1 + ℓ2 + ℓ3 = 150 + 200 + 50 = 400 мм.
Мх (z) = 57,2∙400 – 100(400-150) + 42,8(400 – 150 – 200) = 0.
Так как на этом участке в плоскости YOZ внешние силы не действуют, то изгибающий момент Мх = 0.
По полученным данным в масштабе изображается эпюра изгибающих моментов Мх (z) (рис.1.2)
1.4 Определение функций изгибающих моментов Мy (z)
и вычисление их значений
Изгибающий момент относительно оси Y возникает под действием , , . Для тех же участков определяем функции Му (z) и вычисляем их значения.
Участок 1. 0 ≤ z ≤ ℓ1 , Му (z) = RAХ ∙ z – линейная функция (наклонная прямая);
z = 0, Му (z) = 0;
z = ℓ1 = 150 мм, Му (z) = 171,4 ∙ 150 = 25710 Н∙мм = 25,7 Н∙м.
Участок 2. ℓ1 ≤ z ≤ (ℓ1 + ℓ2 ), Му (z) = RAХ ∙ z – Ft (z - ℓ1) - линейная функция (наклонная прямая).
z = ℓ1 = 150 мм, Му (z) = RAХ∙ ℓ1 = 171,4∙150 = 25710 Н∙мм = 25,7 Н∙м;
z = ℓ1 + ℓ2 = 350 мм,
Му (z) = RAХ (ℓ1 + ℓ2) - Ft∙ ℓ2 = 171,4 (150+200) - 300∙200 = 0.
Участок 3. (ℓ1 + ℓ2) ≤ z ≤ (ℓ1 + ℓ2 + ℓ3).
Му (z) = RAХ ∙ z – Ft (z - ℓ1) + RBX (z - ℓ1 - ℓ2),
z = ℓ1 + ℓ2 = 150 + 200 = 350 мм;
Му (z) = 171,4 · 350 – 300 (350 – 150 ) + 128,6(350 – 150 –200) = 0;
z = ℓ1 + ℓ2 + ℓ3 = 150 + 200 + 50 = 400 мм;
Му (z) = 171,4·400 – 300(400 – 150) + 128,6(400-150-200) = 0.
На этом участке также внешние силы в плоскости ХОZ не действуют и изгибающий момент Му = 0.
По полученным данным в масштабе изображается эпюра изгибающих моментов Му (z).