Для определения функций Ry(z) и Mx(z) выделим по длине балки участки (рис.1.1.), границами которых являются точки приложения внешних нагрузок:

участок 1 0 ≤ z ≤ ℓ₁ = 3 м ;

участок 2 ℓ₁ = 3 м ≤ z ≤ (ℓ₁ + ℓ₂) = 7 м;

участок 3 (ℓ₁ + ℓ₂) = 7 м ≤ z ≤ (ℓ₁ + ℓ₂ + ℓ₃) = 9 м.

По методу сечений находим выражения функций поперечных сил R_y(z) м и изгибающих моментов M_x(z) и производим их вычисление для каждого участка балки.

Для решения этой задачи воспользуемся следующими правилами:

а) поперечная сила в сечении балки R_y равна алгебраической сумме проекций внешних сил на ось y левее или правее сечения, т.е.

;

б) изгибающий момент в сечении балки равен сумме моментов проекций внешних сил на ось y относительно оси х , проходящий через центр масс сечения, т.е.

В данном примере учитываем внешние нагрузки левее сечения.

Для построения эпюр функций R_y(z) и M_x(z) необходимо вычислить их значения в некоторых точках участков балки. На участках, где указанные функции линейные, достаточно вычислить их значения в начале и конце участка. Если функции нелинейные, необходимо дополнительно вычислить их значения в 3-4-х точках внутри участка.

Участок 1. R_y = - R_Ay = - 9,3 кН - прямая параллельная оси OZ.

М_х = - R_Ay z - наклонная прямая.

z = 0 M_x = 0; z = ℓ₁ = 3м М_х = - 9,3 · 3 = - 27,9 кН·м

Участок 2. R_y = - R_Ay + F – q(z - ℓ₁) – наклонная прямая

z = ℓ₁ = 3 м, R_y = - 9,3 + 60 = 50,7 кН;

z = ℓ₁ + ℓ₂ = 7 м, R_y = - 9,3 + 60 – 25 (7-3) = - 49,3 кН

М_х = - R_Ayz + F(z - ℓ₁) – q(z - ℓ₁)( ) - парабола.

Вычисление произведем в пяти точках z = 3; 4; 5; 6 и 7 м.

z = 3 м, М_х = - 9,3 · 3 = - 27,9 кН · м ;

z = 4 м, М_х = - 9,3 · 4 + 60 (4 - 3) – 25 (4 – 3 )( ) = 10,3 кН·м;

z = 5 м, М_х = - 9,3 · 5 + 60 (5 – 3) – 25 (5 – 3)( ) = 23,5 кН·м;

z = 6 м, М_х = - 9,3 · 6 + 60 (6 – 3) – 25 (6 – 3) ( ) = 11,7 кН·м;

z = 7 м, М_х = - 9,3 · 7 + 60 (7 – 3) – 25 (7 – 3)( ) = - 25 кН·м.

Экстремальное значение функции М_х (z) на втором участке определяется по формуле Журавского .

Находим координату точки z, в которой поперечная сила R_y = 0:

R_y = - R_Ay + F – q (z - ℓ₁) = 0;

- 9,3 + 60 – 25 (z – 3) = 0, отсюда z = 5 м.

Тогда при z = 5 м М_х = 23,5 кН·м.

Участок 3. R_y = - R_Ay + F - qℓ₂ + R_By = - 9,3 + 60 – 25 · 4 + 49,3 = 0,

т.е. на этом участке при z = 7 и z = 9 м сила R_y = 0.

М_х = - R_Ayz + F(z - ℓ₁) - qℓ₂(z - ℓ₁ - ) + R_By( z - ℓ₁ - ℓ₂) – зависимость линейная.

При z = 7 м,

М_х = - 9,3·7 + 60 ( 7 – 3) - 25·4 (7 – 3 - ) + 49,3 (7-3-4) = - 25 кН·м

При z = 9 м,

М_х = - 9,3·9 + 60 (9 – 3) – 25 · 4 (9 – 3 - ) + 49,3(9 – 3 – 4) = - 25 кН·м.

На участке 3 действует только изгибающий момент М_х = - 25 кН·м, равный по величине и обратный по направлению внешнему сосредоточенному моменту m₀ = 25 кН·м. Графически функция М_х (z) на этом участке представляется в виде прямой, параллельной оси z.

Результаты вычисления значений функций R_y (z) и M_x(z) для построения эпюр приведены в таблице 1.1.

Таблица 1.1 – результаты вычислений

Номера участков	Значения координаты z, м	Ry, кН	Мх, кН · м
1	0 3	- 9,3 - 9,3	0 - 27,9
2	3 4 5 6 7	50,7 0 - 49,3	- 27,9 10,3 23,5 11,7 - 25
3	7 9	0 0	- 25 - 25

В условиях рассматриваемой задачи эпюры поперечных сил R_y(z) и изгибающих моментов М_х(z) изображены на рис. 1.2..

Из рис. (3.2) следует, что в опасном сечении R_{y max} = 50,7 кН,

М_{х max} = 27,9 кН·м.

Рис.2.1 Эпюры поперечных сил Ry (Z) и изгибающих моментов Mx (Z)