8. Нечеткий вывод.

Механизм нечеткого вывода можно представить в виде:

Предпосылка:

П₁: если x есть A₁, тогда y есть B₁,

П₂: если x есть A₂, тогда y есть B₂,

……………………………………….

П_m: если x есть A_m, тогда y есть B_m,

Факт: x есть Ф

Следствие: y есть B

Знание эксперта AB отражает нечеткое причинное отношение предпосылки и заключения R = AB. Нечеткое отношение R есть нечеткое подмножество прямого произведения XY полного множества предпосылок X и заключений Y. Процесс получения (нечеткого) результата вывода B^* с использованием данного наблюдения A^* и знания AB можно представить в виде формулы B^* = A^*R, где  - операция композиции (свертки).

Нечеткий логический вывод (свертка) осуществляется в четыре этапа:

1. Введение нечеткости, фазификация. Функции принадлежностим, определенные на входных переменных, применяются к их фактическим значениям для определения истинности каждой предпосылки каждого правила.

2. Логический вывод. Вычисленное значение истинности для предпосылок каждого правила применяется к заключению каждого правила. Это приводит к одному нечеткому подмножеству, которое будет назначено каждой переменной вывода для каждого правила.

3. Агрегирование. Все нечеткие подмножества, назначенные к каждой переменной вывода (во всех правилах), объединяются вместе, чтобы формировать одно нечеткое множество для каждой переменной вывода (как поточечный МАКСИМУМ или как поточечная СУММА).

4. Приведение к четкости. Нечеткий набор выводов преобразуется в четкое число.

Методы приведения к четкости:

1. Центроидный метод. Центроид площади или центр тяжести рассчитывается по формулам: (непрерывный вариант), (дискретный вариант), где z_min и z_max - границы области определения _С(z).

2. Метод центра площади. Центр площади определяется из уравнения: .

3. Метод левого модального значения. Рассчитывается по формуле: z0=min{z_m}, где z_m – модальное значение (мода – любая точка максимума функции, в данном случае, функции _C(z), или наименьшая (самая левая) из мод ) нечеткого множества, соответствующего выходной переменной после проведения этапа агрегирования.

4. Метод правого модального значения. Рассчитывается по формуле: z0=max{z_m}, в этом случае значение выходной переменной также определяется как мода нечеткого множества для соответствующей выходной переменной или наибольшая из мод (самая правая), если нечеткое множество имеет несколько модальных значений.

5. Метод среднего модального значения. Четкое значение z0 определяется как среднее значение модальных значений, соответствующих выходной переменной.

Задания для самостоятельного выполнения

Задание 1.

Даны нечеткие множества A и B, заданные на универсуме U. Сравните множества A и B по включению, если:

а) U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A={0,1/1+0,3/2+0,6/3+0,9/4+0,7/5+0,2/6}, B={0,3/1+0,3/2+0,5/3+0,4/4+0,6/5+0,9/6};

б) U = {1, 2, 3, 4, 5}, A={0,1/1+0,3/2+0,4/3+0,5/5}, B={0,3/1+0,3/2+0,5/3+0,4/4+0,6/5};

в) U = {Красный, Синий, Зеленый, Желтый, Белый, Черный}, A={0,3/Красный+ 0,2/Синий +0,1/Желтый +0,4/Белый +0,7/Черный}, B={0,3/Красный +0,1/Синий +0,1/Желтый + 0,6/Черный}.

Задание 2.

Даны нечеткие множества A и B, заданные на универсуме U. Определите , , AB, AB, A-B, B-A, AB, AB, A B, A², B², A^0.5, B^0.5, если:

а) U={1, 2, 3, 4, 5, 6}, A={0,1/1+0,3/2+0,5/3+0,7/4+0,9/5}, B={0,1/2+0,4/3+0,6/4+0,7/5+0,8/6};

б) U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A={0,2/1+0,3/2+0,5/3+0,9/4+0,4/6}, B={0,01/1+0,5/2+0,9/4+0,01/5};

в) U = {Красный, Синий, Зеленый, Желтый, Белый, Черный}, A={0,1/Красный+ 0,2/Синий +0,01/Желтый +0,3/Белый +0,5/Черный}, B={0,2/Красный +0,1/Синий +0,01/Желтый + 0,6/Черный}.

Постройте для каждого нечеткого множества ближайшее четкое множество (включая множества A и B).

Задание 3.

На универсумах X={1, 2, 3, 4}, Y={a, b, c}, Z={f, t} заданы нечеткие множества A={0,1/1+0,5/2+0,9/3}, B={0,4/a+0,5/b+0,8/c}, C={0,4/f+0,8/t}. Постройте нечеткие множества AB, AC, BC, AA, ABC. Найдите ближайшие четкие к ним множества.

Задание 4.

На множестве U заданы нечеткие отношения A и B. Найти дополнения этих отношений , , обратные отношения, A^-1, B^-1, первую и вторую проекцию A, B, объединение AB, пересечение AB, алгебраическое произведение AB, алгебраическую сумму A B, максиминное произведение AB, минимаксное произведение AB, максмультипликативное произведение AB, если.

а) U={a, b, c}, A={1/(a, a)+0,2/(a, b)+0,3/(a, c)+0,2/(b, a)+1/(b, b)+0,7/(b, c)+0,3/(c, а)+0,7/(с, b)+1/(c, c)}, B={0,8/(a, b)+0,4/(a, c)+0,8/(b, a)+ +0,4/(b, c)+0,4/(c, а)+0,4/(с, b)};

б) U={a, b, c}, A={0,1/(a, a)+0,1/(a, b)+0,4/(a, c)+0,2/(b, a)+0,3/(b, c)+0,3/(c, а)+0,7/(с, b)}, B={0,1/(a, a)+0,2/(a, b)+0,3/(b, a)+ 0,3/(b, c)+0,4/(c, а)+0,7/(с, b)};

в) U={1, 2, 3, 4, 5}, , .

К каждому построенному здесь нечеткому отношению (включая A и B) постройте ближайшее обычное отношение. Проверьте выполнимость свойств рефлексивности, симметричности и транзитивности.

Задание 5.

Пусть A – нечеткое отношение A между X и Y; B – нечеткое отношение B между Y и Z. Найдите композицию (max-min- свертку) BA между X и Z, если:

а) X={1, 2, 3}, Y={a, b, c, d}, Z= {, , }, , ;

б) X={1, 2, 3, 4}, Y={a, b, c}, Z= {, , , }, , .

Задание 6.

Дайте определение нечеткой переменной, отражающее вашу субъективную точку зрения, для задания следующих понятий:

а) горячий чай;

б) зрелый возраст;

в) средняя скорость автомобиля;

г) несколько (предметов);

д) маленькое положительное вещественное число.

Задайте для каждого случая универсум, функцию принадлежности задайте аналитически и графически.

Задание 7.

Задайте интерпретацию, отражающую вашу субъективную точку зрения, для следующих лингвистических переменных:

а) степень нагретости чая;

б) возраст человека;

в) скорость автомобиля в черте города;

г) цена автомобиля;

д) размер яблока.

Задайте для каждой лингвистической переменной универсум, на котором определены все ее термы. Для функций принадлежности ее термов постройте графики на одной диаграмме.

Задание 8.

Пусть A и С нечеткие переменные, заданные на универсумах X и Y. Найдите функции принадлежности нечеткой логической формулы AC. Рассмотрите все 6 способов задания импликации.

а) X={1, 2, 3}, Y={f, g}, A={0,3/1+0,5/2+0,9/3}, C={0,3/f+0,7/g};

б) X={1, 2, 3}, Y={f, g, h}, A={0,5/2+0,9/3}, C={0,1/f+0,5/g+0,7/h};

в) X={1, 2, 3}, Y={f, g, h}, A={0,1/1+0,5/2+1/3}, C={0,4/f+0,5/g+0,6/h}.

Пусть нечеткая переменная A принимает нечеткое значение A0. Какие отсюда следуют нечеткие заключения, соответствующие нечеткой логической формуле? Рассмотреть случай задания импликации по Мамдани.

а) A0={0,2/1+1/2+0,1/3};

б) A0={0,1/1+0,4/2+1/3};

в) A0={1/g}.

Задание 9.

Даны элементарные нечеткие высказывания и их степени истинности:

A={О.Бендер имеет довольно высокий рост}, _A =0,7;

B={Завтра будет пасмурная погода}, _B =0,2.

Определите степень истинности следующих высказываний:

C={Неверно, что О.Бендер имеет довольно высокий рост};

D={Завтра будет не пасмурная погода};

E={ О.Бендер имеет довольно высокий рост и завтра будет пасмурная погода};

F={ Неверно, что О.Бендер имеет довольно высокий рост или завтра будет пасмурная погода }.

Задание 10.

Для заданной системы нечетких правил продукции и заданных четких значений входных параметров найдите четкие значения выходных параметров. Приведение к четкости (дефаззификация) выполните центроидным методом, методом левого модального значения, методом правого модального значения и методом среднего модального значения. Для нечеткой импликации в правилах продукции рассмотрите два способа задания: способ Мамдани.

а)

• П1: если x есть A₁ и y есть B₁, тогда z есть C₁,

• П2: если x есть A₂ и y есть B₂, тогда z есть C₂,

• A₁ = {0,1/1+0,3/2+0,4/3+0,7/4+0,9/5},

• A₂ = {0,7/1+0,2/2+0,1/3+0,6/4+0,8/5},

• B₁ = {0,3/1+0,2/2+0,6/3+0,5/4+1/5},

• B₂ = {0,4/1+0,1/2+0,3/3+0,8/4+0,7/5},

• C₁ = {0,1/2+0,2/3+0,5/4+0,9/5+0,8/6+0,7/7+0,3/8},

• C₂ = {0,3/2+0,1/3+0,4/4+0,6/5+0,9/6+0,8/7+0,2/8},

• x0 = 3, y0 = 4;

б)

• П1: если x есть A₁ или y есть B₁, тогда z есть C₁,

• П2: если x есть A₂ или y есть B₂, тогда z есть C₂,

• A₁ = {0,1/1+0,3/2+0,4/3+0,7/4+0,9/5},

• A₂ = {0,7/1+0,2/2+0,1/3+0,6/4+0,8/5},

• B₁ = {0,3/1+0,2/2+0,6/3+0,5/4+1/5},

• B₂ = {0,4/1+0,1/2+0,3/3+0,8/4+0,7/5},

• C₁ = {0,1/2+0,2/3+0,5/4+0,9/5+0,8/6+0,7/7+0,3/8},

• C₂ = {0,3/2+0,1/3+0,4/4+0,6/5+0,9/6+0,8/7+0,2/8},

• x0 = 3, y0 = 4;

в)

• П1: если x есть A₁ и y есть B₁, тогда z есть C₁,

• П2: если x есть A₂ и y есть B₂, тогда z есть C₂,

• П3: если x есть A₃ или y есть B₃, тогда z есть C₃,

• П4: если x есть A₄ или y есть B₄, тогда z есть C₄,

• A₁ = {0,1/1+0,3/2+0,4/3+0,7/4+0,9/5},

• A₂ = {0,7/1+0,2/2+0,1/3+0,6/4+0,8/5},

• A₃ = {0,9/1+0,6/2+0,5/3+0,1/4+0,8/5},

• A₄ = {0,9/1+0,8/2+0,5/3+0,2/4+0,1/5},

• B₁ = {0,3/1+0,2/2+0,6/3+0,5/4+1/5},

• B₂ = {0,4/1+0,1/2+0,3/3+0,8/4+0,7/5},

• B₃ = {0,8/1+0,7/2+0,5/3+0,9/4+1/5},

• B₄ = {0,2/1+0,7/2+0,4/3+0,3/4+0,1/5},

• C₁ = {0,1/2+0,2/3+0,5/4+0,9/5+0,8/6+0,7/7+0,3/8},

• C₂ = {0,3/2+0,1/3+0,4/4+0,6/5+0,9/6+0,8/7+0,2/8},

• C₃ = {0,7/2+0,8/3+0,6/4+0,1/5+0,2/6+0,3/7+0,2/8},

• C₄ = {0,9/2+0,2/3+0,8/4+0,2/5+0,1/6+0,8/7+0,4/8},

• x0 = 3, y0 = 4;

г)