5. Свойства нечетких отношений.
Коммутативность RS = SR, RS = SR.
Ассоциативность R(SQ) = (RS)Q, R(SQ) = (RS)Q.
Дистрибутивность R(SQ) = (RS)(RQ), R(SQ) = (RS)(RQ).
Идемпотентность RR = R, RR = R.
Рефлексивность:
если R(u, u) = 1, отношение R – рефлексивное;
если R(u, u) < 1, отношение R – слаборефлексивное;
если R(u, u) = 0, отношение R – антирефлексивное;
если R(u, u) > 0, отношение R – слабоантирефлексивное;
Симметричность R(u, v) = R(v, u), u, vU.
Транзитивность R(u, v) R(v, z) R(z, v), u, v, z U.
6. Нечеткие и лингвистические переменные.
Нечеткая переменная определяется кортежем <, X, C()>, где - наименование нечеткой переменной, X – область определения нечеткой переменной (базовое множество), C() = {C()(X)/(xX)} – нечеткое подмножество множества X, описывающее ограничения на возможные значения нечеткой переменной .
Лингвистическая переменная характеризуется <, T(), X, G, M>, в котором - название лингвистической переменной, T() – термин-множество лингвистической переменной , то есть множество лингвистических (вербальных) значений переменной, причем каждое из этих значений является нечеткой переменной с областью определения X: G – синтаксическое правило (имеющее обычно форму грамматики), порождающее наименования T() вербальных значений лингвистической переменной , M – семантическое правило, которое ставит в соответствие каждой нечеткой переменной T() нечеткое множество C() – смысл нечеткой переменной .
7. Нечеткие высказывания и нечеткая импликация.
Нечеткая импликация. Пусть заданы универсальные множества X и Y, содержащие конечное число элементов. Под способом определения нечеткой импликации «если A, то B», где A и B –нечеткие множества на X и Y, соответственно, понимают способ задания нечеткого отношения R на XY, соответствующего данному высказыванию. Чаще всего используются следующие способы задания этого отношения:
Ларсен: R(x, y) = A(x)B(y);
Лукасевич: R(x, y) = min{1, 1-A(x)+B(y)};
Мамдани: R(x, y) = min{A(x), B(y)};
Гёдель:
;Клин-Динэс: R(x, y) = max{1-A(x), B(y)};
Клин-Динэс -Лук: R(x, y) = 1-A(x)+A(x)B(y)}.
Нечеткими высказываниями называются высказывания вида:
< есть >, где - наименование лингвистической переменной, относительно которой производится утверждение , являющееся ее нечеткой оценкой (нечеткой переменной);
< есть m>, где m – модификатор «очень», «более или менее», «незначительный»;
< есть Q>;
<Q есть m>;
<m есть Q>, где Q – квантификатор («большинство», «несколько», «много», «немного»);
высказывания, образуемые из вышеперечисленных с использованием связок И, ИЛИ, ЕСЛИ…ТО, НЕ.
Формально нечеткое
высказывание представляет собой нечеткое
множество. Поэтому, если A
и B
нечеткие высказывания, то отрицание
,
конъюнкция AB,
AB
есть нечеткие высказывания с функциями
принадлежности
,
,
,
соответственно.
Нечеткий предикат. Нечеткий предикат P(x1, x2,…, xk) или, более строго, k-местный нечеткий предикат, формально определяется, как некоторое отображение из декартова произведения универсумов X1, X2,…, Xk в некоторое вполне упорядоченное множество значений истинности, в частности, в интервал [0, 1], то есть P: X1×X2×… ×Xk [0, 1].