Лабораторная работа № 5,6,7. Методы представления и обработки нечетких знаний Цель работы

1. Овладения навыками выполнения операций над нечеткими множествами.

2. Овладения навыками выполнения операций над нечеткими отношениями.

3. Овладения навыками введения нечетких и лингвистических отношений исходя из анализа предметной области.

4. Овладение навыками выполнения операций над нечеткими высказываниями.

5. Овладение приемами нечеткого вывода в экспертных системах, использующих представление знаний в нечеткой логике.

Краткие теоретические сведения

1. Нечеткие множества.

Определение нечеткого множества. Пусть U – полное множество объектов некоторого класса (Универсум). Нечетким множеством A называется множество упорядоченных пар (x, _A), где xU, а _A(x) – функция принадлежности (степень принадлежности), которая ставит в соответствие каждому из элементов xU некоторое действительное число из отрезка [0, 1], то есть данная функция определяется в форме отображения A(x): E  [0, 1].

Функция принадлежности может быть определена явным образом в виде функциональной зависимости (например, ), либо дискретно (если множество U конечно) – путем задания конечной последовательности значений x{x_i} в виде: _A(x) = {_A(x₁)/x₁ + _A(x₂)/x₂ + …+ _A(x_n)/x_n}.

Пустое нечеткое множество  - это нечеткое множество с функцией принадлежности _(x) = 0.

Универсум - нечеткое множество с функцией принадлежности _U(x) = 1.

Нечеткие числа – это нечеткие переменные, определенные на числовой оси (U=R).

2. Операции над нечеткими множествами.

Включение. Пусть A и B – нечеткие множества на универсальном множестве U. Говорят, что A содержится в B (A подмножество B), если xU _A(x) ≤ _B(x). Обозначение AB.

Равенство. Нечеткие множества A и B равны, если xU _A(x) = _B(x).

Операция дополнения: Пусть A и B – нечеткие множества, заданные на U. A и B дополняют друг друга, если xU _A(x) = 1 - _B(x). Обозначение , .

Операция объединения. Пусть A и B – нечеткие множества, заданные на U. Объединением A и B называется наименьшее нечеткое подмножество, включающее как A, так B, с функцией принадлежности _AB(x) = max{_A(x), _A(x)} = _A(x)_A(x). Обозначение AB.

Операция пересечения. Пусть A и B – нечеткие множества, заданные на U. Пересечением A и B называется наибольшее нечеткое подмножество, содержащееся одновременно в A и B, с функцией принадлежности _AB(x) = min{_A(x), _A(x)} = _A(x)_A(x). Обозначение AB.

Разность. Пусть A и B – нечеткие множества, заданные на U. Разностью A и B называется нечеткое множество с функцией принадлежности _A-B(x) = min{_A(x), 1 - _B(x)}. Обозначение A-B.

Симметрическая разность. Пусть A и B – нечеткие множества, заданные на U. Симметрической разностью A и B называется нечеткое множество с функцией принадлежности _AB(x) = min{max{_A(x), _B(x)}, max{1-_A(x), 1-_B(x)}}. Обозначение AB.

Алгебраическое произведение. Пусть A и B – нечеткие множества, заданные на U. Алгебраическим произведением A и B называется нечеткое множество с функцией принадлежности: xU _AB(x) = _A(x)_B(x). Обозначение AB.

Алгебраическая сумма. Пусть A и B – нечеткие множества, заданные на U. Алгебраической суммой A и B называется нечеткое множество с функцией принадлежности: xU _{A B}(x) = _A(x) + _B(x) - _A(x)_B(x). Обозначение A B.

Степень множества. Пусть A – нечеткое множество, заданное на U. Нечеткое множество A^ , где  - положительное число определяется функцией принадлежности: xU _A^(x) = ^_A(x).

Декартово (прямое произведение). Пусть A₁, A₂, ….,A_n – нечеткие подмножества универсальных множеств U₁, U₂, ….,U_n соответственно. Декартово или прямое произведение A = A₁A₂ ….A_n является нечетким подмножеством множества U = U₁U₂ ….U_n с функцией принадлежности .

Ближайшее четкое к A множество A: .