1.3 Решение типового варианта
1 В партии 120 деталей, среди них 40 бракованных. Найти:
а) относительную частоту бракованных деталей;
б) вероятность того, что все 20 деталей, взятых наугад из партии, будут бракованными;
в) вероятность того, что среди 20 деталей, взятых наугад из партии, будет 9 бракованных.
Решение:
а)
относительной частотой события А
(обозначается
)
называется отношение числа m
испытаний, в которых событие А появилось,
к общему числу n
произведённых испытаний:
.
Пусть
событие А – появление бракованных
деталей в партии, тогда
.
В
пунктах б) и в) используем классическое
определение вероятности события А:
,
где m
– число испытаний, благоприятствующих
появлению события А, n
– общее число испытаний;
б)
пусть событие А - все 20 деталей, взятых
наугад из партии, бракованные. Общее
число испытаний равно числу различных
способов: взять 20 деталей из 120 деталей,
т.е.
;
число благоприятствующих испытаний
равно числу различных способов: взять
из 40 бракованных деталей 20, т.е.
.
Таким образом,
;
в)
пусть событие А – среди 20 деталей, взятых
наугад из партии, будет 9 бракованных.
Как выше сказано,
;
число m
благоприятствующих испытаний получим,
комбинируя каждое из
сочетаний
(
равно числу различных способов выбрать
9 бракованных из 40 бракованных деталей)
с каждым из
сочетаний
(
равно
числу различных способов выбрать 11 не
бракованных из 80 не бракованных деталей),
т.е.
.
Таким образом,
.
При вычислении числа сочетаний была использована функция combin в Mathcad. Ниже приведена копия файла, в котором combin(Q,R) введена как функция пользователя C(Q,R), позволяющая получать значения сочетаний при произвольных Q и R.
|
|
,
,
|
|
,
,
|
|
,
.
2 В ящике изделия четырёх сортов. Первого сорта 3 изделия, второго - 4, третьего - 2, четвёртого - 1. Наудачу берут 5 изделий. Найти вероятность того, что среди них 2 изделия первого сорта, 2- второго, 1- третьего, 0- четвёртого сорта.
Решение:
пусть
событие А - среди 5, выбранных наудачу
изделий, 2 изделия первого сорта, 2 -
второго, 1 - третьего, 0 - четвёртого сорта.
Для решения задачи также используем
классическое определение вероятности
события А: Р(А) = m/
n,
где n
число всех возможных способов выбора
5 изделий из имеющихся 10 (3+4+2+1=10), т.е.
.
Число m
благоприятствующих событию А элементарных
событий равно
.
Поэтому Р(А) = 36/252=1/7.
Заметим,
что при небольших числах число сочетаний
проще найти вручную по формуле
,
причём дробь лучше начинать заполнять со знаменателя, т.к. в числителе столько же сомножителей, сколько в знаменателе.
3 В магазин поступили 1000 ламп из трёх заводов: 100 ламп из первого завода, 300 - из второго, остальные из третьего. Среди ламп первого завода 5% бракованных, второго - 4% бракованных, третьего - 6% бракованных.
Куплена одна лампа:
а) найти вероятность того, что она бракованная;
б) купленная лампа оказалась бракованной. Найти вероятность того, что она сделана на 2–ом заводе.
Решение:
пусть
событие А – куплена бракованная лампа,
а события
,
,
–
лампа
поступила соответственно из первого,
второго, третьего заводов (эти события
называются гипотезами).
а)
вероятность события А находится по
формуле полной вероятности:
,
где Р(А/
)
– условные вероятности того, что
купленная наугад лампа поступила из i–
го завода (i=1,2,3).
По условию задачи имеем: Р(
)
= 100/1000 = 0,1; Р(
)
= 300/1000 = 0,3; Р(
)
= 600/1000 = 0,6; Р(А/
)=0,05;
Р(А/
)=0,04;
Р(А/
)=0,06.
Поэтому Р(А) =
=
0,053;
б) в этом пункте требуется найти условную вероятность Р( /А). Используем для этого формулу Байеса:
,
которая
для нашей задачи перепишется так:
=
=
=
0,226.
4 Проводится 10 испытаний, в каждом из которых вероятность появления некоторого события равна 0,8. Найти вероятность того, что событие появится:
а) ровно 8 раз (событие А);
б) не менее 9 раз (событие В);
в) не более 2 раз (событие С);
г) хотя бы один раз (событие D).
Решение:
для
определения вероятности события А
используем формулу Бернулли:
,
где
-
вероятность появления
раз
некоторого
события в серии
независимых
испытаний,
.
Вероятности событий В и С определяются
как суммы вероятностей:
-
вероятность того, что событие произойдёт
не менее, чем
раз
в
независимых
испытаниях, т.е. или
,
или
+1,…,
или
раз;
-
вероятность того, что событие произойдёт
не более
раз
в
независимых
испытаниях, т.е. или 0, или 1, или 2,…, или
раз.
Эти вероятности называют комулятивными
(накопленными). Таким образом,
а)
=
=0,302,
б)
0,376,
в)
0,000078.
Введём противоположное D событие Е - в серии независимых испытаний некоторое событие не появилось ни разу. Тогда
г)
=
1.
Ниже приведена копия файла из Mathcad с вычислениями.
, |
|
,
|
|
,
,
|
.
5 Вероятность «сбоя» в работе телефонной станции при каждом вызове равна 0,003. Поступило 1000 вызовов. Найти вероятность 6 «сбоев».
Решение:
поскольку
велико,
мало,
а произведение
-
небольшое число, то вместо формулы
Бернулли для определения вероятности
появления
раз
некоторого события в серии
независимых
испытаний удобнее использовать формулу
Пуассона
.
В
нашей задаче
=1000,
=6,
=0,003,
,
поэтому
=0,05.
При
вычислении можно использовать таблицу
значений функции
,
приводимую в некоторых учебниках, или
функцию dpois
в
Mathcad.
Ниже приведена копия файла, в котором
проведены вычисления в Mathcad.
|
|
,
.
6. Вероятность наступления некоторого события в каждом испытании равна 0,8. Найти вероятность того, что в 100 независимых испытаниях событие наступит
а) ровно 80 раз (событие А);
б) от 70 до 80 раз (событие В);
в) более 80 раз (событие С);
г) менее 70 раз (событие D).
Решение:
поскольку
число независимых испытаний
велико,
то вероятность
появления
раз
некоторого события в
испытаниях
определяется по локальной теореме
Муавра-Лапласа и приближённо равна
,
где
,
,
(значения
этой функции находят из таблиц или с
помощью встроенной функции dnorm
в
системе Mathcad).
Для
определения вероятностей событий В, С
и D
используют интегральную теорему
Муавра-Лапласа: вероятность
того,
что число
появления
некоторого события будет находится в
промежутке от
до
приближённо
равна
,
где
,
,
-
функция Лапласа, значения которой
находятся из специальных таблиц или с
помощью встроенной функции pnorm
в
системе Mathcad.
а)
=0,
;
б)
,
,
;
в)
,
;
г)
,
.
Ниже приведена копия файла, в котором сделаны вычисления в системе Mathcad.
|
|
,
|
|
,
,
|
|
,
,
|
|
,
,
|
|
,
,
|
|
,
.
|
|
,
,
|
|
,
или другой вариант
|
|
,
.
|
|
,
,
|
|
,
,
|
|
,
,
|
|
,
,
|
.
7 Дискретная случайная величина Х задана рядом распределения
Х |
0 |
10 |
20 |
30 |
40 |
50 |
Р |
0,05 |
0,15 |
0,3 |
0,25 |
0,2 |
0,05 |
Найти:
а) её функцию распределения , построить график ;
б) математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду;
в) вероятность попадания Х в интервал (15;45).
Решение:
а)
функция распределения
(интегральная
функция распределения) случайной
величины Х определяет вероятность
события Х<х. Для дискретной случайной
величины она находится по формуле
=
,
где суммирование ведётся по всем
,
для которых
.
Итак,
1) если
,
то
;
2)
если
,
то
;
3)
если
,
то
;
4)
если
,
то
;
5)
если
,
то
=
;
6)
если
,
то
+
+
;
7)
если
,
то
+
+
.
Таким
образом,
;
График построен в системе Mathcad (см. ниже).
б)
найдём числовые характеристики. Для
дискретной случайной величины
математическое ожидание равно сумме
произведений всех её возможных значений
на вероятности этих значений:
.
Поэтому
25,5.
Дисперсия
случайной величины Х находится либо по
формуле
,
либо по формуле
.
Для дискретной случайной величины эти
формулы перепишутся так:
или
.
Среднее квадратическое отклонение
равно
;
мода дискретной случайной величины
(обозначается
)
– это её значение, принимаемое с
наибольшей вероятностью; вероятность
попадания Х в интервал (а;b)
находится по формуле
.
В нашей задаче эти величины равны:
D(x)=154,75;
;
=20;
=0,75.
Ниже приведена копия файла, в котором сделаны вычисления в системе Mathcad, причём вычисление дисперсии проведено по обеим формулам.
|
|
,
|
|
,
,
|
|
,
,
|
|
,
,
|
|
,
,
|
|
,
,
|
,
|
,
|
|
.
8
Непрерывная случайная величина Х задана
функцией распределения
.
Найти:
а) её плотность распределения ;
б) математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду, медиану;
в) вероятность попадания Х в интервал (1; 2,5).
Построить графики и .
Решение:
а)
плотность распределения вероятностей
непрерывной случайной величины равна
производной её функции распределения:
,
поэтому
;
б)
числовые характеристики непрерывных
случайных величин находятся по формулам:
математическое ожидание -
;
дисперсия -
или
(пределы
интегрирования зависят от того,
принадлежат ли возможные значения
случайной величины всей оси Ох или
интервалу (a;b));
среднее квадратическое отклонение -
;
модой непрерывной случайной величины
называется
то её значение
,
при котором плотность распределения
максимальна; медианой непрерывной
случайной величины
называется
такое её значение
,
для которого одинаково вероятно, окажется
ли случайная величина меньше или больше
,
т.е.
.
Таким
образом, в нашей задаче
=8/3;
;
=
0,236. Для определения моды надо найти
максимум функции
на
отрезке [2; 3]. Поскольку эта функция
монотонна, то её максимум достигается
на конце отрезка, т.е.
.
Итак,
=3.
Медиану можно найти из условия
,
где вероятность
=
находится
по формуле
или
по формуле
-
вероятность попадания случайной величины
в промежуток (a;
b).
Так как
=
,
то, решая уравнение
=0,5,
получим два корня 1,29 и 2,71, из которых
подходит один:
=
2,71;
в)
вероятность попадания Х в интервал (1;
2,5) находим по выше приведённым формулам
или
=
.
Графики функций и построим в системе Mathcad:
|
|
,
,
|
|
Заметим, что вычисление интегралов и другие вычисления можно проводить в системе Mathcad, например,
|
|
,
,
|
|
,
,
|
.
9
Непрерывная случайная величина Х
задана плотностью распределения
.
Найти:
а) её функцию распределения ;
б) математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду, медиану;
в) вероятность попадания Х в интервал (1;4).
Построить графики и .
Решение:
а)
функцию распределения находим по
формуле
.
Итак, если
,
то
,
поэтому
;
если
,
то
=-
;
если
,
то
.
Таким
образом, искомая функция распределения
имеет вид
;
б) математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду, медиану находим как в предыдущей задаче.
=1,5;
0,45;
=
0,671.
Для
определения моды надо найти максимум
функции
на
отрезке [0; 3]. Для этого находим производную
и приравниваем её к нулю:
,
при
х=3/2, эта точка критическая. Проверяем
её на экстремум:
,
итак, при переходе через точку х=3/2 знак
производной сменился с плюса на минус,
значит х=3/2 точка максимума,
поэтому
=3/2.
Медиану находим из условия ,
где
=
=
.
Так как
=-
,
то, решая уравнение
- =0,5,
получим три корня, из которых подходит один:
= 1,5.
Ниже приведёна копия файла с вычислениями в системе Mathcad.
|
|
,
,
|
|
,
,
|
|
,
,
|
|
,
.
|
|
,
,
|
,
в)
вероятность попадания Х в интервал
(1;4) равна
0,741
или
=
=
=
=
.
Ниже приведёна копия файла из Mathcad с вычислениями.
|
|
,
,
|
|
,
,
|
.
Графики функций F(x) и f(x) построим в системе Mathcad:
|
|
,
,
|
|
,
.
10 Найти закон распределения дискретной случайной величины Х, которая принимает два значения и ( < ). Известны математическое ожидание =1,4, дисперсия =0,24 и вероятность =0,6 возможного значения .
Решение:
так как сумма вероятностей всех возможных значений дискретной случайной величины равна единице, то вероятность того, что случайная величина примет значение х равна р = 1- 0,6 = 0,4.
Напишем закон распределения Х:
-
Х
р
0,6
0,4
Чтобы
найти
и
,
составим систему двух уравнений,
используя формулы вычисления
математического ожидания и дисперсии
для дискретных случайных величин:
и
.
Эта система имеет вид:
.
Решим её в Mathcad:
|
|
.
,
|
|
,
,
|
.
Итак, система имеет два решения =1, =2 и =1,8, =0,8. По условию < , поэтому задаче удовлетворяет первое решение =1, =2. Таким образом, искомый закон распределения:
-
Х
1
2
р
0,6
0,4
Список литературы
1. Ивановский Р.И. Теория вероятностей и математическая статистика. Основы, прикладные аспекты с примерами изадачами в среде Mathcad. - СПб.: БХВ- Петербург, 2008. – 528 с.
2. Письменный Д. Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистики, случайные процессы. – М.: Айрис -пресс, 2006. – 288 с.
3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие для вузов. – М.: Высш. школа, 2003.- 279 с.
4. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высш. школа, 1999.- 400 с.
5. Базарбаева С.Е. и др. Теория вероятностей и математическая статистика. Сборник типовых расчетов и методических указании. – Алматы: АИЭС, 2001. – 32 с.
Содержание