Некоммерческое акционерное общество
АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ
Кафедра высшей математики
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
Методические указания и задания
к выполнению расчетно-графических работ
(для студентов всех форм обучения специальности
5В070400 – Вычислительная техника и программное обеспечение,
5В070300 – Информационные системы)
Часть 1
Алматы 2011
СОСТАВИТЕЛИ: Л.Н. Астраханцева, М.Ж.Байсалова. Теория вероятностей и математическая статистика. Методические указания и задания к выполнению расчетно-графической работы для студентов всех форм обучения специальности 5В070400–Вычислительная техника и программное обеспечение, 5В070300 – Информационные системы. Часть 1. –Алматы: АУЭС, 2011.- 28 с.
Методические указания и задания к расчетно-графической работе содержат типовой расчет №1 дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов всех форм обучения специальности 5В070400 – Вычислительная техника и программное обеспечение, 5В070300 – Информационные системы. Приведены основные теоретические вопросы программы. Дано решение типового варианта.
Табл. 10, библиогр. – 5 назв.
Рецензент: канд.физ.-мат.наук, проф. С.Е.Базарбаева.
Печатается по плану издания некоммерческого акционерного общества «Алматинский университет энергетики и связи» на 2011 г.
НАО «Алматинский университет энергетики и связи», 2011 г.
1 Типовой расчёт. Случайные события и случайные величины
1.1 Теоретические вопросы
1 Предмет теории вероятностей. Случайные события, частота. Статисти-
ческое и геометрическое определения вероятности.
2 Пространство элементарных событий. Алгебра событий. Классичес-
кое определение вероятности.
3 Теоремы сложения и умножения вероятностей. Условная вероятность.
Зависимые и независимые события.
4 Формула полной вероятности. Формула Байеса.
5 Повторение испытаний. Формула Бернулли.
6 Локальная и интегральная теоремы Лапласа. Функция Лапласа. Фор-
мула Пуассона.
7 Дискретные и непрерывные случайные величины. Закон распределе-
ния дискретной случайной величины. Биномиальное распределение, распределение Пуассона.
8 Интегральная функция распределения (функция распределения), свой-
ства, график.
9 Дифференциальная функция распределения (плотность распределе-
ния), свойства, график.
10 Числовые характеристики случайных величин. Математическое ожи-
дание дискретных и непрерывных случайных величин.
11 Дисперсия и среднее квадратическое отклонение дискретных и
непрерывных случайных величин.
12 Начальные и центральные моменты распределения, асимметрия,
эксцесс, мода, медиана.
1.2 Расчётные задания
1 В партии N деталей, среди них M бракованных. Найти
а) относительную частоту бракованных деталей;
б) вероятность того, что все m деталей, взятых наугад из партии, будут бракованными;
в)
вероятность того, что среди m
деталей, взятых наугад из партии, будет
m
бракованных.
Т а б л и ц а 1
№ |
N |
M |
m |
m |
№ |
N |
M |
m |
m |
1.1 |
100 |
25 |
10 |
8 |
1.16 |
70 |
8 |
5 |
3 |
1.2 |
90 |
15 |
12 |
7 |
1.17 |
75 |
9 |
8 |
4 |
1.3 |
85 |
10 |
7 |
4 |
1.18 |
85 |
6 |
5 |
2 |
1.4 |
80 |
9 |
5 |
3 |
1.19 |
90 |
12 |
7 |
4 |
1.5 |
95 |
15 |
9 |
3 |
1.20 |
87 |
10 |
8 |
3 |
продолжение таблицы 1
1.6 |
70 |
10 |
9 |
5 |
1.21 |
100 |
30 |
15 |
5 |
1.7 |
80 |
15 |
7 |
5 |
1.22 |
90 |
20 |
9 |
3 |
1.8 |
90 |
10 |
6 |
4 |
1.23 |
95 |
15 |
10 |
4 |
1.9 |
75 |
10 |
8 |
4 |
1.24 |
85 |
10 |
7 |
2 |
1.10 |
100 |
20 |
10 |
7 |
1.25 |
90 |
12 |
6 |
3 |
1.11 |
90 |
10 |
8 |
5 |
1.26 |
85 |
10 |
5 |
2 |
1.12 |
80 |
7 |
5 |
3 |
1.27 |
75 |
8 |
5 |
3 |
1.13 |
95 |
10 |
8 |
5 |
1.28 |
100 |
15 |
9 |
4 |
1.14 |
96 |
12 |
7 |
1 |
1.29 |
80 |
10 |
7 |
4 |
1.15 |
89 |
13 |
5 |
2 |
1.30 |
85 |
7 |
5 |
2 |
2
В ящике изделия четырёх сортов. Первого
сорта n
изделий,
второго - n
,
третьего - n
,
четвёртого - n
.
Наудачу берут m
изделий. Найти вероятность того, что
среди них m
изделий
первого сорта, m
-
второго, m
-
третьего, m
-
четвёртого сорта (m
+
m
+
m
+
m
=
m).
Т а б л и ц а 2
№ |
n |
n |
n |
n |
m |
m |
m |
m |
2.1 |
1 |
2 |
3 |
4 |
1 |
1 |
2 |
1 |
2.2 |
2 |
2 |
4 |
2 |
1 |
1 |
1 |
2 |
2.3 |
2 |
3 |
4 |
1 |
1 |
2 |
3 |
1 |
2.4 |
1 |
4 |
2 |
3 |
1 |
2 |
1 |
2 |
2.5 |
4 |
2 |
2 |
2 |
3 |
1 |
2 |
1 |
2.6 |
3 |
2 |
3 |
2 |
2 |
1 |
3 |
1 |
2.7 |
5 |
1 |
2 |
2 |
3 |
1 |
1 |
1 |
2.8 |
2 |
5 |
2 |
1 |
1 |
3 |
1 |
1 |
2.9 |
4 |
2 |
3 |
2 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2.10 |
3 |
3 |
4 |
2 |
2 |
1 |
1 |
2 |
2.11 |
2 |
3 |
3 |
3 |
1 |
2 |
3 |
1 |
2.12 |
1 |
3 |
4 |
3 |
1 |
2 |
2 |
1 |
2.13 |
2 |
3 |
4 |
2 |
1 |
2 |
3 |
2 |
2.14 |
1 |
2 |
3 |
5 |
1 |
1 |
2 |
3 |
2.15 |
2 |
3 |
4 |
2 |
1 |
2 |
2 |
1 |
2.16 |
3 |
2 |
2 |
4 |
2 |
1 |
1 |
1 |
2.17 |
4 |
3 |
2 |
3 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2.18 |
3 |
3 |
4 |
2 |
2 |
1 |
2 |
2 |
2.19 |
2 |
4 |
5 |
1 |
2 |
2 |
3 |
1 |
2.20 |
3 |
4 |
3 |
2 |
2 |
2 |
3 |
2 |
2.21 |
2 |
5 |
2 |
3 |
1 |
3 |
1 |
2 |
2.22 |
4 |
4 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
1 |
2.23 |
2 |
7 |
2 |
1 |
1 |
5 |
2 |
1 |
2.24 |
3 |
1 |
6 |
2 |
2 |
1 |
3 |
1 |
продолжение таблицы 2
2.25 |
1 |
3 |
3 |
2 |
1 |
3 |
1 |
1 |
2.26 |
1 |
4 |
2 |
2 |
0 |
2 |
1 |
1 |
2.27 |
2 |
3 |
1 |
3 |
1 |
2 |
0 |
1 |
2.28 |
3 |
1 |
2 |
3 |
0 |
1 |
1 |
2 |
2.29 |
3 |
2 |
3 |
1 |
2 |
2 |
2 |
0 |
2.30 |
2 |
2 |
2 |
3 |
1 |
1 |
1 |
2 |
3
В магазин поступили 1000 ламп из трёх
заводов: ламп
-
из первого завода,
-
из второго, остальные из третьего.
Среди ламп первого завода
%
бракованных, второго -
%
бракованных, третьего -
%
бракованных.
Куплена одна лампа:
а) найти вероятность того, что она бракованная;
б) купленная лампа оказалась бракованной. Найти вероятность того, что она сделана на i – том заводе ( i =1,2,3).
Т а б л и ц а 3
№ |
|
|
|
|
|
i |
3.1 |
100 |
250 |
7 |
8 |
5 |
1 |
3.2 |
430 |
180 |
5 |
4 |
7 |
2 |
3.3 |
170 |
540 |
6 |
5 |
8 |
3 |
3.4 |
650 |
120 |
10 |
9 |
8 |
2 |
3.5 |
400 |
180 |
7 |
10 |
5 |
1 |
3.6 |
120 |
380 |
10 |
6 |
9 |
2 |
3.7 |
270 |
340 |
9 |
5 |
4 |
3 |
3.8 |
430 |
120 |
10 |
7 |
6 |
2 |
3.9 |
360 |
120 |
5 |
10 |
8 |
1 |
3.10 |
420 |
210 |
8 |
7 |
6 |
1 |
3.11 |
370 |
130 |
10 |
6 |
5 |
2 |
3.12 |
410 |
200 |
5 |
10 |
8 |
3 |
3.13 |
280 |
510 |
10 |
6 |
5 |
3 |
3.14 |
710 |
120 |
2 |
10 |
4 |
3 |
3.15 |
460 |
240 |
5 |
9 |
7 |
1 |
3.16 |
520 |
220 |
5 |
8 |
7 |
1 |
3.17 |
270 |
410 |
10 |
5 |
9 |
2 |
3.18 |
250 |
140 |
8 |
7 |
4 |
2 |
3.19 |
190 |
380 |
5 |
9 |
30 |
1 |
3.20 |
290 |
610 |
6 |
3 |
3 |
2 |
3.21 |
270 |
430 |
10 |
6 |
4 |
2 |
3.22 |
280 |
360 |
7 |
10 |
9 |
1 |
3.23 |
520 |
110 |
5 |
7 |
10 |
1 |
3.24 |
240 |
290 |
9 |
8 |
4 |
3 |
3.25 |
310 |
410 |
7 |
2 |
5 |
3 |
продолжение таблицы 3
3.26 |
520 |
110 |
3 |
6 |
7 |
2 |
3.27 |
280 |
310 |
9 |
8 |
4 |
2 |
3.28 |
400 |
320 |
4 |
5 |
8 |
1 |
3.29 |
350 |
240 |
9 |
8 |
7 |
1 |
3.30 |
190 |
520 |
5 |
2 |
4 |
3 |
4 Проводится n испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна p. Найти вероятность того, что событие А появится:
а)
ровно
раз;
б)
не менее
раз;
в)
не более
раз;
г) хотя бы один раз.
Т а б л и ц а 4
№ |
n |
|
|
|
p |
№ |
n |
|
|
|
p |
4.1 |
4 |
2 |
3 |
2 |
0.9 |
4.16 |
5 |
3 |
4 |
2 |
0.8 |
4.2 |
4 |
3 |
3 |
2 |
0.8 |
4.17 |
4 |
3 |
3 |
1 |
0.7 |
4.3 |
5 |
4 |
4 |
2 |
0.7 |
4.18 |
4 |
2 |
3 |
2 |
0.6 |
4.4 |
5 |
3 |
3 |
2 |
0.6 |
4.19 |
5 |
3 |
4 |
1 |
0.5 |
4.5 |
6 |
5 |
5 |
1 |
0.5 |
4.20 |
6 |
4 |
5 |
2 |
0.4 |
4.6 |
6 |
4 |
4 |
1 |
0.4 |
4.21 |
7 |
5 |
6 |
2 |
0.3 |
4.7 |
7 |
5 |
5 |
2 |
0.3 |
4.22 |
8 |
3 |
7 |
2 |
0.2 |
4.8 |
7 |
4 |
4 |
1 |
0.2 |
4.23 |
8 |
4 |
7 |
1 |
0.3 |
4.9 |
8 |
4 |
7 |
2 |
0.3 |
4.24 |
7 |
5 |
6 |
2 |
0.4 |
4.10 |
8 |
3 |
6 |
1 |
0.4 |
4.25 |
6 |
3 |
5 |
2 |
0.5 |
4.11 |
7 |
4 |
6 |
2 |
0.5 |
4.26 |
5 |
2 |
4 |
1 |
0.6 |
4.12 |
7 |
5 |
6 |
1 |
0.6 |
4.27 |
4 |
2 |
3 |
2 |
0.7 |
4.13 |
6 |
3 |
4 |
2 |
0.7 |
4.28 |
5 |
3 |
3 |
3 |
0.8 |
4.14 |
6 |
2 |
4 |
2 |
0.8 |
4.29 |
6 |
4 |
4 |
2 |
0.9 |
4.15 |
5 |
4 |
4 |
1 |
0.9 |
4.30 |
7 |
5 |
6 |
1 |
0.9 |
5 Вероятность «сбоя» в работе телефонной станции при каждом вызове равна р. Поступило n вызовов. Найти вероятность k «сбоев».
Т а б л и ц а 5
№ |
р |
n |
k |
№ |
р |
n |
k |
№ |
р |
n |
k |
5.1 |
0.002 |
1000 |
7 |
5.11 |
0.01 |
200 |
8 |
5.21 |
0.004 |
500 |
9 |
5.2 |
0.003 |
1000 |
7 |
5.12 |
0.01 |
300 |
8 |
5.22 |
0.005 |
600 |
9 |
5.3 |
0.004 |
1000 |
7 |
5.13 |
0.02 |
200 |
8 |
5.23 |
0.01 |
400 |
9 |
5.4 |
0.005 |
1000 |
7 |
5.14 |
0.01 |
500 |
8 |
5.24 |
0.01 |
500 |
9 |
5.5 |
0.006 |
1000 |
7 |
5.15 |
0.02 |
300 |
8 |
5.25 |
0.01 |
600 |
9 |
продолжение таблицы 5
5.6 |
0.007 |
1000 |
7 |
5.16 |
0.01 |
700 |
8 |
5.26 |
0.007 |
1000 |
9 |
5.7 |
0.008 |
1000 |
7 |
5.17 |
0.02 |
400 |
8 |
5.27 |
0.008 |
1000 |
9 |
5.8 |
0.009 |
1000 |
7 |
5.18 |
0.01 |
900 |
8 |
5.28 |
0.009 |
1000 |
9 |
5.9 |
0.01 |
1000 |
7 |
5.19 |
0.02 |
500 |
8 |
5.29 |
0.01 |
1000 |
9 |
5.10 |
0.011 |
1000 |
7 |
5.20 |
0.011 |
1000 |
8 |
5.30 |
0.012 |
1000 |
9 |
6 Вероятность наступления события А в каждом испытании равна р. Найти вероятность того, что в n испытаниях событие А наступит
а) ровно раз;
б) от до раз;
в) более раз;
г) менее раз.
Т а б л и ц а 6
№ |
n |
|
|
p |
№ |
n |
|
|
p |
6.1 |
100 |
80 |
90 |
0.8 |
6.16 |
100 |
90 |
95 |
0.6 |
6.2 |
100 |
85 |
95 |
0.8 |
6.17 |
100 |
62 |
82 |
0.6 |
6.3 |
100 |
70 |
95 |
0.8 |
6.18 |
100 |
50 |
70 |
0.8 |
6.4 |
100 |
83 |
93 |
0.7 |
6.19 |
100 |
55 |
75 |
0.8 |
6.5 |
100 |
50 |
60 |
0.7 |
6.20 |
100 |
45 |
80 |
0.8 |
6.6 |
100 |
65 |
75 |
0.7 |
6.21 |
100 |
40 |
60 |
0.8 |
6.7 |
100 |
70 |
80 |
0.7 |
6.22 |
100 |
35 |
70 |
0.3 |
6.8 |
100 |
40 |
50 |
0.6 |
6.23 |
100 |
50 |
80 |
0.3 |
6.9 |
100 |
65 |
80 |
0.75 |
6.24 |
100 |
40 |
65 |
0.3 |
6.10 |
100 |
70 |
85 |
0.75 |
6.25 |
200 |
45 |
75 |
0.4 |
6.11 |
100 |
78 |
92 |
0.75 |
6.26 |
200 |
100 |
150 |
0.4 |
6.12 |
100 |
20 |
60 |
0.7 |
6.27 |
200 |
80 |
170 |
0.4 |
6.13 |
100 |
30 |
85 |
0.7 |
6.28 |
300 |
150 |
180 |
0.8 |
6.14 |
100 |
40 |
79 |
0.7 |
6.29 |
400 |
100 |
190 |
0.6 |
6.15 |
100 |
80 |
95 |
0.6 |
6.30 |
400 |
200 |
295 |
0.7 |
7 Дискретная случайная величина Х задана рядом распределения. Найти:
а)
её функцию распределения
,
построить график
;
б) математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду;
в) вероятность попадания Х в интервал (a;b).
Т а б л и ц а 7
|
Х |
х |
х |
х |
х |
х |
х |
а |
b |
Р |
р |
р |
р |
р |
р |
р |
|||
7.1
|
Х |
0 |
1 |
2 |
4 |
6 |
9 |
-2 |
7 |
Р |
0.05 |
0.15 |
0.3 |
0.25 |
0.15 |
0.1 |
№
продолжение таблицы 7
7.2 |
Х |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
2 |
4 |
-1 |
3 |
Р |
0.15 |
0.3 |
0.02 |
0.14 |
0.18 |
0.31 |
|||
7.3
|
Х |
1 |
2 |
3 |
5 |
7 |
8 |
-3 |
6 |
Р |
0.3 |
0.14 |
0.16 |
0.1 |
0.2 |
0.1 |
|||
7.4
|
Х |
-4 |
-3 |
-2 |
0 |
1 |
2 |
0 |
1 |
Р |
0.2 |
0.08 |
0.23 |
0.27 |
0.12 |
0.1 |
|||
7.5
|
Х |
1 |
2 |
4 |
5 |
7 |
9 |
3 |
8 |
Р |
0.19 |
0.21 |
0.06 |
0.14 |
0.12 |
0.28 |
|||
7.6
|
Х |
-1 |
0 |
2 |
3 |
5 |
7 |
-4 |
4 |
Р |
0.26 |
0.14 |
0.07 |
0.2 |
0.03 |
0.3 |
|||
7.7
|
Х |
-2 |
-1 |
0 |
3 |
5 |
7 |
1 |
6 |
Р |
0.18 |
0.09 |
0.01 |
0.2 |
0.22 |
0.3 |
|||
7.8 |
Х |
1 |
2 |
4 |
5 |
6 |
8 |
0 |
6 |
Р |
0.3 |
0.17 |
0.13 |
0.1 |
0.2 |
0.1 |
|||
7.9 |
Х |
1 |
2 |
3 |
4 |
7 |
9 |
5 |
8 |
Р |
0.11 |
0.29 |
0.06 |
0.14 |
0.17 |
0.23 |
|||
7.10 |
Х |
0 |
1 |
2 |
3 |
7 |
9 |
4 |
8 |
Р |
0.06 |
0.14 |
0.3 |
0.25 |
0.15 |
0.1 |
|||
7.11 |
Х |
-3 |
-2 |
0 |
1 |
2 |
4 |
-1 |
3 |
Р |
0.15 |
0.3 |
0.01 |
0.14 |
0.19 |
0.31 |
|||
7.12 |
Х |
-1 |
0 |
3 |
5 |
7 |
8 |
1 |
6 |
Р |
0.25 |
0.14 |
0.16 |
0.1 |
0.2 |
0.15 |
|||
7.13 |
Х |
-4 |
-3 |
-2 |
0 |
2 |
4 |
-1 |
3 |
Р |
0.2 |
0.07 |
0.24 |
0.26 |
0.13 |
0.1 |
|||
7.14 |
Х |
-3 |
-1 |
0 |
3 |
4 |
7 |
-2 |
6 |
Р |
0.12 |
0.09 |
0.01 |
0.2 |
0.28 |
0.3 |
|||
7.15 |
Х |
-1 |
0 |
1 |
3 |
7 |
8 |
2 |
6 |
Р |
0.26 |
0.14 |
0.15 |
0.2 |
0.3 |
0.15 |
|||
7.16 |
Х |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
7 |
-3 |
5 |
Р |
0.17 |
0.09 |
0.01 |
0.3 |
0.23 |
0.2 |
|||
7.17 |
Х |
1 |
2 |
3 |
5 |
6 |
7 |
0 |
4 |
Р |
0.1 |
0.14 |
0.16 |
0.1 |
0.2 |
0.3 |
|||
7.18 |
Х |
-3 |
-1 |
0 |
3 |
5 |
6 |
-2 |
4 |
Р |
0.16 |
0.09 |
0.01 |
0.3 |
0.24 |
0.2 |
|||
7.19 |
Х |
1 |
2 |
5 |
6 |
7 |
8 |
3 |
6 |
Р |
0.2 |
0.15 |
0.15 |
0.1 |
0.3 |
0.1 |
|||
7.20 |
Х |
-1 |
0 |
2 |
4 |
7 |
8 |
1 |
5 |
Р |
0.23 |
0.18 |
0.12 |
0.2 |
0.1 |
0.17 |
|||
7.21 |
Х |
1 |
2 |
4 |
5 |
6 |
8 |
0 |
7 |
Р |
0.3 |
0.14 |
0.16 |
0.03 |
0.2 |
0.17 |
|||
7.22 |
Х |
-4 |
-3 |
-1 |
0 |
1 |
3 |
-2 |
2 |
Р |
0.2 |
0.03 |
0.24 |
0.26 |
0.17 |
0.1 |
продолжение таблицы 7
7.23 |
Х |
1 |
2 |
3 |
4 |
7 |
9 |
0 |
8 |
Р |
0.17 |
0.23 |
0.09 |
0.11 |
0.12 |
0.28 |
|||
7.24 |
Х |
0 |
1 |
3 |
5 |
7 |
8 |
2 |
6 |
Р |
0.2 |
0.14 |
0.16 |
0.12 |
0.3 |
0.08 |
|||
7.25 |
Х |
-5 |
-3 |
-2 |
0 |
1 |
3 |
-4 |
2 |
Р |
0.2 |
0.06 |
0.21 |
0.29 |
0.14 |
0.1 |
|||
7.26 |
Х |
1 |
2 |
3 |
5 |
8 |
9 |
4 |
7 |
Р |
0.18 |
0.22 |
0.05 |
0.15 |
0.12 |
0.28 |
|||
7.27 |
Х |
1 |
3 |
4 |
5 |
7 |
8 |
2 |
6 |
Р |
0.3 |
0.16 |
0.14 |
0.01 |
0.2 |
0.19 |
|||
7.28 |
Х |
-5 |
-3 |
-1 |
0 |
1 |
3 |
-4 |
2 |
Р |
0.1 |
0.03 |
0.14 |
0.36 |
0.17 |
0.2 |
|||
7.29 |
Х |
0 |
2 |
3 |
4 |
6 |
8 |
1 |
7 |
Р |
0.26 |
0.14 |
0.05 |
0.15 |
0.12 |
0.28 |
|||
7.30 |
Х |
-1 |
0 |
2 |
3 |
7 |
8 |
1 |
6 |
Р |
0.21 |
0.16 |
0.14 |
0.1 |
0.2 |
0.19 |
8 Непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения . Найти:
а)
её плотность распределения
;
б) математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду, медиану;
в) вероятность попадания Х в интервал (a;b).
Построить графики и .
Т а б л и ц а 8
№ |
|
а |
b |
№ |
|
а |
b |
8.1 |
|
1 |
4 |
8.16 |
|
4 |
5 |
8.2 |
|
1 |
2 |
8.17 |
|
2 |
4 |
8.3 |
|
0,5 |
1 |
8.18 |
|
0,2 |
0,9 |
продолжение таблицы 8
8.4 |
|
|
1 |
8.19 |
|
- |
|
8.5 |
|
2 |
4 |
8.20 |
|
0 |
1,5 |
8.6 |
|
- |
|
8.21 |
|
|
|
8.7 |
|
0,1 |
0,2 |
8.22 |
|
0,1 |
0,5 |
8.8 |
|
3 |
4 |
8.23 |
|
5,5 |
6 |
8.9 |
|
1 |
5 |
8.24 |
|
1 |
2 |
8.10 |
|
3 |
4 |
8.25 |
|
3 |
6 |
продолжение таблицы 8
8.11 |
|
5 |
7 |
8.26 |
|
7,5 |
8 |
8.12 |
|
- |
|
8.27 |
|
5 |
6 |
8.13 |
|
3,5 |
6 |
8.28 |
|
0 |
|
8.14 |
|
2,5 |
3 |
8.29 |
|
0,1 |
0,3 |
8.15 |
|
0 |
2 |
8.30 |
|
- |
|
9 Непрерывная случайная величина Х задана плотностью распределения . Найти:
а) её функцию распределения ;
б) математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду, медиану;
в) вероятность попадания Х в интервал (a;b).
Построить графики и .
Т а б л и ц а 9
№ |
|
а |
b |
№ |
|
а |
b |
9.1 |
|
1 |
3 |
9.16 |
|
-1 |
2 |
9.2 |
|
-2,5 |
0 |
9.17 |
|
0 |
|
9.3 |
|
0 |
|
9.18 |
|
0 |
1,5 |
9.4 |
|
0 |
|
9.19 |
|
1 |
2,5 |
9.5 |
|
0 |
|
9.20 |
|
0,1 |
1 |
9.6 |
|
0 |
|
9.21 |
|
0 |
1 |
9.7 |
|
1 |
2 |
9.22 |
|
|
1 |
9.8 |
|
3 |
4,5 |
9.23 |
|
0 |
|
9.9 |
|
2 |
4 |
9.24 |
|
0 |
1,5 |
продолжение таблицы 9
9.10 |
|
1,5 |
2 |
9.25 |
|
0 |
|
9.11 |
|
|
|
9.26 |
|
0 |
1 |
9.12 |
|
1 |
3 |
9.27 |
|
1 |
4 |
9.13 |
|
-1 |
1 |
9.28 |
|
|
|
9.14 |
|
0,2 |
1,2 |
9.29 |
|
0 |
2 |
9.15 |
|
0 |
|
9.30 |
|
2 |
3 |
10
Найти закон распределения дискретной
случайной величины Х, которая принимает
два значения 
и
(
<
).
Известны математическое ожидание
,
дисперсия
и
вероятность
возможного
значения х
.
Т а б л и ц а 10
№ |
|
|
|
№ |
|
|
|
10.1 |
0.9 |
3.1 |
0.09 |
10.16 |
0.8 |
3.2 |
0.16 |
10.2 |
0.8 |
1.4 |
0.64 |
10.17 |
0.9 |
1.2 |
0.36 |
10.3 |
0.7 |
2.6 |
0.84 |
10.18 |
0.8 |
2.4 |
0.64 |
10.4 |
0.6 |
3.4 |
0.24 |
10.19 |
0.7 |
3.3 |
0.21 |
10.5 |
0.5 |
3 |
1 |
10.20 |
0.6 |
1.8 |
0.96 |
10.6 |
0.4 |
3.2 |
0.96 |
10.21 |
0.5 |
2 |
1 |
10.7 |
0.3 |
3.7 |
0.21 |
10.22 |
0.4 |
3.6 |
0.24 |
10.8 |
0.2 |
2.6 |
0.64 |
10.23 |
0.3 |
2.4 |
0.84 |
10.9 |
0.1 |
3.8 |
0.36 |
10.24 |
0.2 |
3.6 |
0.64 |
продолжение таблицы 10
10.10 |
0.2 |
3.8 |
0.16 |
10.25 |
0.1 |
3.9 |
0.09 |
10.11 |
0.3 |
3.4 |
0.84 |
10.26 |
0.2 |
3.8 |
0.16 |
10.12 |
0.4 |
2.2 |
0.96 |
10.27 |
0.3 |
2.4 |
0.84 |
10.13 |
0.5 |
3.5 |
0.25 |
10.28 |
0.4 |
3.6 |
0.24 |
10.14 |
0.6 |
2.8 |
0.96. |
10.29 |
0.1 |
2.8 |
0.36 |
10.15 |
0.7 |
1.6 |
0.84 |
10.30 |
0.9 |
2.2 |
0.36 |
11 Решить задачи, используя алгебру событий, классическое или геометрическое определения вероятности.
11.1 Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих устройства. Вероятность того, что при аварии первое устройство сработает, равна 0,8; для второго и третьего устройства эти вероятности соответственно равны 0,9 и 0,8. Найти вероятность того, что при аварии сработает только одно устройство.
11.2 В одном ящике 5 белых и 10 чёрных шаров, в другом - 10 белых и 5 чёрных шаров. Из каждого ящика вынуто по одному шару. Найти вероятность того, что хотя бы один из них белый.
11.3 Вероятность попадания в корабль для одной торпеды равна 0,5. Какова вероятность того, что три торпеды потопят корабль, если для этого достаточно одного попадания?
11.4 В шкатулке 10 красных и 6 синих пуговиц. Вынимают наугад две пуговицы. Какова вероятность, что они будут одноцветными?
11.5 Вероятность попадания в цель первым стрелком равна 0,7, вторым – 0,95. Стрелки выстрелили одновременно. Чему равна вероятность того, что один из них попадёт в цель, другой промахнётся?
11.6 Вероятность того, что изготовленная на первом станке деталь будет первого сорта, равна 0,7, для второго станка эта вероятность равна 0,8. На первом станке изготовлены 2 детали, на втором - 3. Найти вероятность того, что хотя бы на одном станке все изготовленные на нём детали будут первого сорта.
11.7 32 буквы русского алфавита написаны на карточках разрезной азбуки. Три карточки вынимаются наугад одна за другой и укладываются в порядке появления. Найти вероятность того, что получится слово «бал».
11.8 В цехе работают 7 мужчин и 3 женщины. По табельным номерам наугад отобраны З человека. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц будет хотя бы одна женщина.
11.9 Из партии изделий товаровед отбирает изделия высшего сорта. Вероятность того, что наудачу взятое изделие будет высшего сорта, равна 0,8. Найти вероятность того, что из 3 проверенных изделий только 2 высшего сорта.
11.10 Вероятность того, что при одном измерении некоторой физической величины будет допущена ошибка, равна 0,4. Произведены 3 независимые измерения. Найти вероятность того, что только в одном из них допущена ошибка.
11.11 Вероятность одного попадания в цель при одном залпе из двух орудий равна 0,38. Найти вероятность поражения цели при одном выстреле первым из орудий, если известно, что для второго орудия эта вероятность равна 0,8.
11.12 На полке в библиотеке в случайном порядке расставлено 16 учебников, среди которых 5 по физике. Библиотекарь берёт наудачу 3 учебника. Найти вероятность того, что хотя бы один из них будет по физике.
11.13 Брошены 3 игральные кости. Найти вероятность того, что на каждой из выпавших граней появится 5 очков.
11.14 В круг радиуса 10 вписан правильный треугольник. Внутрь круга наудачу брошены 4 точки. Найти вероятность того, что все 4 точки попадут внутрь треугольника.
11.15 Отрезок длиной 30 разделён на 3 равные части. На этот отрезок наудачу брошены 3 точки. Найти вероятность того, что на каждую из трёх частей отрезка попадёт по одной точке. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна его длине и не зависит от его расположения.
11.16 Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих устройства. Вероятность того, что при аварии первое устройство сработает, равна 0,7; для второго и третьего устройства эти вероятности соответственно равны 0,9 и 0,6. Найти вероятность того, что при аварии сработает хотя бы одно устройство.
11.17 В одном ящике 6 белых и 12 чёрных шаров, в другом - 11 белых и 5 чёрных шаров. Из каждого ящика вынуто по одному шару. Найти вероятность того, что только один из них белый.
11.18 Вероятность попадания в корабль для одной торпеды равна 0,4. Какова вероятность того, что 2 торпеды потопят корабль, если для этого достаточно одного попадания?
11.19 В шкатулке 14 красных и 8 синих пуговиц. Вынимают наугад две пуговицы. Какова вероятность, что они будут разноцветными?
11.20 Вероятность попадания в цель первым стрелком равна 0,8, вторым — 0,85. Стрелки выстрелили одновременно. Чему равна вероятность того, что хотя бы один из них попадёт в цель?
11.21 Вероятность того, что изготовленная на первом станке деталь будет первого сорта, равна 0,8, для второго станка эта вероятность равна 0,9. На первом станке изготовлены 3 детали, на втором - 2. Найти вероятность того, что все детали, изготовленные на двух станках, будут первого сорта.
11.22 32 буквы русского алфавита написаны на карточках разрезной азбуки. Четыре карточки вынимаются наугад одна за другой и укладываются в порядке появления. Найти вероятность того, что получится слово «вода».
11.23 В цехе работают 8 мужчин и 4 женщины. По табельным номерам наугад отобрано 4 человека. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц будут все мужчины.
11.24 Из партии изделий товаровед отбирает изделия высшего сорта. Вероятность того, что наудачу взятое изделие будет высшего сорта, равна 0,8. Найти вероятность того, что из 3 проверенных изделий только 1 высшего сорта.
11.25 Вероятность того, что при одном измерении некоторой физической величины будет допущена ошибка, равна 0,3. Произведены 4 независимые измерения. Найти вероятность того, что хотя бы в одном из них допущена ошибка.
11.26 Вероятность одного попадания в цель при одном залпе из двух орудий равна 0,4. Найти вероятность поражения цели при одном выстреле первым из орудий, если известно, что для второго орудия эта вероятность равна 0,7.
11.27 На полке в библиотеке в случайном порядке расставлено 15 учебников, среди которых 5 по биологии. Библиотекарь берёт наудачу 3 учебника. Найти вероятность того, что только один из них будет по биологии.
11.28 Брошены 4 игральные кости. Найти вероятность того, что на каждой из выпавших граней появится 6 очков.
11.29 В круг радиуса 12 вписан правильный треугольник. Внутрь круга наудачу брошены 3 точки. Найти вероятность того, что все 3 точки попадут внутрь треугольника.
11.30 Отрезок длиной 60 разделён на 4 равные части. На этот отрезок наудачу брошены 4 точки. Найти вероятность того, что на каждую из четырёх частей отрезка попадёт по одной точке. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна его длине и не зависит от его расположения.