3. Ортогональные центральные композиционные планы

В ортогональных ЦКП второго порядка достаточно про­водить только один опыт в центре плана, т.е. N₀ = l. Рас­смотрим случай двухфакторного эксперимента. Матрица ор­тогонального ЦКП и вектор-столбцы для вычисления оце­нок коэффициентов при фиктивной переменной x₀, взаимо­действиях x_jx_k, а также факторах во второй степени , представлены в табл. 4.3.

Как уже отмечалось, в ортогональных ЦКП второго порядка должны быть ортогональными друг с другом все вектор-столбцы, включая и вектор-столбцы квадратичных членов и вектор-столбец фиктивной переменной. Как видно из табл. 4.3, не все вектор-столбцы являются попарно ортогональными. Действительно:

Таблица 4.3

Для обеспечения попарной ортогональности преобра­зовывают модель и выбирают значение α, для обеспечения ортогональности вектор-столбца фиктивной переменной пре­образуют вектор-столбец факторов во второй степени так, чтобы выполнялось условие

где — преобразованные значения вектор- столбца.

Приняв во внимание, что х₀ тождественно равно едини­це, получим

Из данного выражения определится смещение β, которое необходимо ввести в вектор-столбец факторов во второй степени, чтобы он был ортогонален вектор-столбцу фиктив­ной переменной, т.е.

(4.10)

Однако даже при введении смещения β преобразован­ные вектор-столбцы факторов во второй степени между собой не будут ортогональными. Для обеспечения их ортогональности необходимо должным образом выбирать значение «звездного» плеча α. Наглядность выбора α легко установить для простейшего случая трехфакторного экспе­римента, когда модель имеет вид

Матрица, содержащая преобразованные вектор-столбцы представлена в табл. 4.4. Условие ортогональности

Число опытов, составляющих «ядро» плана = 2^n-p (если основу ЦКП составляет ПФЭ, то р = 0).

В «звездных» точках реализовано N_α = 2n опытов. По­этому условие ортогональности, исходя из приведенных со­отношений, на основе табл. 4.4. для двух вектор-столбцов может быть переписано так:

или окончательно

(4.11)

Согласно табл. 4.3,

тогда можно, решив уравнение (4.11), определить значение «звездного» плеча α для различного числа факторов:

Таблица 4.4

Следовательно, выбор значений β и α по (4.10) и (4.11) обеспечивает ортогональность вектор-столбцов. Вектор- столбцы матрицы, приведенной в табл. 4.4, кроме ортого­нальности обладают еще и свойством симметричности, но условие нормировки в этом случае не соблюдается. Выше отмечалось, что условие нормировки обеспечивает одинако­вую точность оценки коэффициентов уравнения регрессии. Для ортогональных ЦКП точность определения различных групп оценок будет не одинаковой, так как в них не выпол­няется условие

В данном выражении под индексом k понимается любой вектор-столбец, кроме нулевого. Определим значение четырех групп однородных вектор-столбцов:

1. независимые переменные (столбцы )

2. линейные взаимодействия (столбцы )

3. преобразованные факторы во второй степени (столб­цы )

4. фиктивная переменная х₀

Исходя из выражения

можно найти оценки коэффициентов уравнения регрессии, где номер вектор-столбца матрицы, представленной в табл. 4.4. В результате получаем модель в кодированной системе координат, включающей преобразованные квадра­тичные члены:

Учитывая смещение β, т.е. , окончатель­но получим уравнение регрессии

где

Оценки дисперсий коэффициентов для каждой из четы­рех однородных групп подсчитываются по следующим фор­мулам (при т параллельных опытов):

Выбор числа т параллельных опытов, рандомизация по­рядка их проведения в точках факторного пространства предусмотрены матрицей планирования ортогональнсго центрального композиционного плана, статистическая оцен­ка однородности опытов проводится так же, как и при ПФЭ (или ДФЭ). Однако следует помнить, что на последнем цик­ле крутого восхождения уже был выполнен двухуровневый факторный эксперимент (в табл. 4.4 восемь первых опытов), то рандомизировать и проводить нужно только опыты в «звездных» точках и в центре плана. Однако статистиче­ская оценка построчных дисперсий должна проводиться для всех N построчных дисперсий сразу, а не отдельно для вновь выполненных опытов в «звездных» и центральных точках.

Если полученное на основании ортогонального ЦКП уравнение регрессии оказалось адекватным принятому уров­ню значимости, то его можно исследовать аналитическими методами и уточнить область экстремума. Для этого необхо­димо взять частные производные по всем п факторам, при­равнять их нулю и решить полученную систему п урав­нений.

Полученное описание математической области экстре­мума может быть также использовано для прогнозирования функции отклика. Однако дисперсия оценки функции от­клика в некоторой точке факторного пространства зависит не только от расстояния этой точки до центра плана ρ, но и от ее положения на гиперсфере. Поэтому, если не предъ­являются особые требования к точности предсказания выходной величины по уравнению регрессии в любом на­правлении факторного пространства от базовой точки, предпочтительно применение ортогонального ЦКП ввиду его простоты. При наличии требований к предсказанию вы­ходной величины следует применять ротатабельные ЦКП.