2. Центральные композиционные планы второго порядка

Полный или дробный факторный эксперимент позволяет получить независимые оценки коэффициентов при незави­симых переменных уравнения регрессии, а также их неко­торых линейных взаимодействиях.

Из теории аппроксимации известно, что для получения линейной модели достаточно каждый из факторов варьиро­вать на двух уровнях.

Коэффициенты при факторах во второй степени из двух­уровневого планирования определить нельзя, так как они смешаны со свободным членом. Вектор-столбец для фак­тора во второй степени во всех строках будет со­держать лишь +1, независимо от уровня варьирования фактора x_j, и

Чтобы, например, определить по­ложение кривой на плоскости, необхо­димо фактор варьировать на трех уров­нях (известным примером является проведение окружности через три точ­ки).

Таким образом, для получения регрессионной модели, включающей и факторы во второй степени, необходим план активного эксперимента, предусматривающий как мини­мум три уровня варьирования каждым фактором. В каче­стве такого уровня может быть выбран «нулевой» уровень, при котором х_j = 0. Однако ПФЭ с числом уровней варьи­рования k = 3 обладает большой избыточностью, так как число опытов N = 3ⁿ.

Одним из подходов при построении планов второго по­рядка состоит в использовании результатов планирования на последнем шаге крутого восхождения. План такого вида получается достраиванием плана, представляющего собой факторный эксперимент в окрестностях базовой точки, даю­щего неадекватную регрессионную модель и называемого композиционным, или последовательным, состоящим из нескольких частей, которые осуществляются последова­тельно. Эти части таковы [20]:

1. «ядро» плана, включающее точки ПФЭ или ДФЭ, в которых уже были поставлены опыты, но результаты кото­рых дали неадекватную линейную модель;

2. «звездные» точки, лежащие на всех п осях-факторах по обе стороны от центра плана (базовой точки) на расстоя­нии α, называемом «звездным» плечом (точки называются «звездными», так как они обычно обозначаются крестиками, как показано на рис. 4.5);

3. центральная точка с кодированным значением факто­ра x_j = 0, в которой проводится серия из N₀ параллельных опытов.

Рис. 4.5. «Звёздные» точки плана

Общее число точек в факторном пространстве, в кото­рых реализуются опыты:

N = N_ф + N_α + N₀,

где N_ф = 2^n-p (при ПФЭ р = 0) — число точек факторного планирования на двух уровнях; N_α = 2 • п — число «звезд­ных» точек (п — число факторов); N₀ — число точек (опы­тов) в центре плана.

Поскольку композиционный план предусматривает по­становку опытов в центре плана и его точки расположены симметрично относительно центра (рис. 4.5), то его называ­ют центральным.

Таким образом, в центральном композиционном плане (ЦКП) осуществляется варьирование независимыми пере­менными на пяти уровнях:—α; —1; 0; +1; +α. Значение «звездного» плеча α выбирается из условия выполнения критерия оптимальности плана. Из этих же соображений выбирается и число центральных точек N₀.

Центральные композиционные планы в зависимости от критерия оптимальности бывают двух видов:

1. ортогональные, для которых критерием оптималь­ности является Ортогональность всех вектор-столбцов мат­рицы планирования, что обеспечивает независимость оце­нок коэффициентов уравнения регрессии (в том числе и при квадратичных членах);

2. ротатабельные, для которых критерием оптималь­ности служит одинаковая точность прогнозирования функ­ции отклика по уравнению регрессии в любом направлении исследуемой области факторного пространства на равном расстоянии от центра плана, обеспечивающие равномерное распределение информации по гиперсфере, центр которой совпадает с центром плана (с базовой точкой).