2. Факторные методы определения экстремума

К факторным методам поиска экстремальной области от­носится метод крутого восхождения (метод Бокса — Уилсо­на) [31]. Среди методов, рассматриваемых теорией планиро­вания эксперимента, метод крутого восхождения (будем рассматривать нахождение максимума функции отклика) яв­ляется связующим между начальным и конечным этапами исследования.

Основная идея метода заключается в том, что на началь­ном этапе на основании ПФЭ или ДФЭ получают простей­шие линейные модели в качестве приближенного описания некоторой части функции отклика, далекой от экстремума. Коэффициенты модели, полученной в результате ПФЭ и ДФЭ, пропорциональны проекциям вектор-градиента и позволяют оценить само направление градиента, т. е. на­правление самого крутого склона поверхности отклика. За­тем вдоль этого направления совершается постепенное ша­говое движение к области экстремума (отсюда и само на­звание метода). Метод крутого восхождения (МКВ) сочетает лучшие свойства классических методов — градиентного и Гаусса — Зейделя. Сходство с градиентным методом заклю­чается в том, что при реализации МКВ происходит также продвижение к области экстремума в направлении градиен­та, найденного на основании пробных опытов в окрестности базовой точки. Однако на этом их сходство и заканчивается. По классическому градиентному методу ставятся по два пробных опыта по обе стороны от базовой точки (см. рис. 4.2) путем поочередного варьирования каждой из входных ве­личин при стабилизации остальных п — 1 факторов, а по МКВ пробные опыты ставятся в соответствии с матрицей плана ПФЭ или ДФЭ. При факторном эксперименте в оцен­ке каждого коэффициента модели, а следовательно, каждой составляющей градиента, участвуют все N точек (опытов). Поэтому эти оценки получа­ются более точными, чем при классическом градиентном ме­тоде, где каждая составляю­щая градиента вычисляется только по двум точкам. Най­денное таким образом по МКВ направление градиента более помехозащищенно и достовер­но. В этой связи в найденном направлении градиента можно осуществлять несколько, а не один, пробных шагов до достижения частного экстремума. В этом состоит сходство МКВ с методом Гаусса — Зейделя. Однако по классическому методу предполагается фиксация п — 1 независимой переменной при продвижении к экстре­муму по варьируемой переменной. Продвижение осуществ­ляется вдоль оси-фактора, что замедляет продвижение к области экстремума. Таким образом, МКВ позволяет го­раздо быстрее и надежнее по сравнению с классическими методами достичь экстремальной области. Кроме того, МКВ позволяет получить информацию о степени крутизны по­верхности в районе базовой точки — эта информация зало­жена в коэффициентах взаимодействий.

Рис.4.3. К использованию метода крутого восхождения (спуска)

Допустим задана базовая точка К₀ (рис. 4.3). Приняв ее за центр плана, поставим в ее окрестностях ПФЭ (или ДФЭ). Важной особенностью МКВ является проведение статисти­ческой оценки результатов ПФЭ, что значительно повышает надежность интерпретации этих результатов.

Допустим, по результатам опытов в области базовой точ­ки получено линейное уравнение регрессии (в кодирован­ной системе координат)

содержащее статистически значимые коэффициенты. Выше было показано, что найденные оценки коэффициентов ( ) пропорциональны проекциям вектор-градиента на оси-факторы. Следовательно, по оценкам линейных коэффициентов можно оценить и направление вектор-градиен­та, по которому с выбранным шагом можно осуществлять продвижение к частному экстремуму. О достижении част­ного экстремума, как и по методу Гаусса — Зейделя, можно судить по неравенству Y_m-1 <Y_m> Y_m+l. Если данное неравенство выполняется, точка К_i является точкой частного экстремума, ее принимают за базовую и в окрест­ностях реализуют ПФЭ или ДФЭ. Для случая, приведенного на рис. 4.3, при продвижении в направлении градиента (луч К₀М) такой точкой будет точка К₈.

В реальных условиях на исследуемом объекте рассмат­риваются входные переменные в реальном масштабе, варь­ирование независимых переменных осуществляют в естест­венных координатах. Полный или дробный факторный экс­перимент дает значения функции отклика в кодированной системе координат. Поэтому при оценке составляющих гра­диента следует учитывать значения ступеней варьирования по каждому фактору, а также то, что значение составляю­щих градиента зависит и от масштаба измерения (представ­ления) факторов. Поэтому в течение всего эксперимента не­зависимые переменные необходимо измерять (задавать) в одних и тех же единицах, сохранять постоянный масштаб.

Для вычисления координаты точки K_i в направлении градиента при поиске частного экстремума необходимо определить взаимосвязь между шагом варьирования j-й независимой переменной в естественной и кодированной системах координат. При этом на основании уравнения регрессии, полученного по результатам ПФЭ или ДФЭ в ок­рестностях базовой точки, устанавливают наиболее сущест­венный фактор, например k-й. Оценка коэффициента по этому фактору по абсолютной величине максимальна по сравне­нию с другими оценками коэффициентов. Из физических соображений для данного фактора выбирается шаг варьиро­вания в естественном масштабе λ_к. Исходя из известного соотношения между значением фактора в кодированной х_к и естественной Х_к системе координат

(4.4)

где можно установить взаимосвязь между λ_к и нормированным шагом λ варьирования неза­висимой переменной в кодированной системе координат.

Так как точка со значением для пробного ПФЭ и ДФЭ лежит в центре плана (на рис. 4.3 это точка К₀) и, на­чиная с нее, начинается продвижение к экстремуму в на­правлении градиента, то координата по Х_к первой точки в направлении экстремума (для рассматриваемого примера точки К₅) определится как разность

(4.5)

На основании соотношения (4.4) в кодированной системе координат получим для точки К₅

(4.6)

Однако для кодированного значения k-го фактора для точки К₅ можно записать

(4.7)

Как уже отмечалось, точка К₀ лежит в центре плана, поэтому и

(4.7)

Сопоставив выражения (4.6) и (4.7), получим взаимо­связь между шагом варьирования k-го фактора λ_к в нату­ральных единицах с нормированным шагом варьирования λ в кодированных единицах:

(4.8)

Так как первоначально был выбран шаг варьирования наиболее существенной переменной λ_k, то для того чтобы продвигаться в направлении градиента, найденного на ос­новании факторного эксперимента, необходимо, исходя из выражения (4.8) для нормированного шага, найти значение в натуральных единицах шагов варьирования остальными факторами. Он будет

В этом случае получим координаты точки К₅ (первой точки), лежащей на направлении градиента.

Используя соотношения:

(4.9)

полученные из выражений (4.5), (4.7) с учетом Х_jср = и = 0, можно находить координаты точек, лежащих на направлении градиента, где l — шаг продвижения в на­правлении градиента.

Пример. По МКВ определить экстремальную область для функции отклика. На вход объекта воздействуют два фактора Х₁ и Х₂, для которых задано (в натуральных еди­ницах):

Определим координаты базовой точки и интервалы варьирования факторов:

Таблица 4.1

N	x1	x2		N	x1	x2
1	-1	-1	95,0	3	-1	+1	85,0
2	+1	-1	90,0	4	+1	+1	82,0

В окрестностях базовой точки Х_jср = в соответст­вии с матрицей планирования ПФЭ провели эксперимент и получили значения выходной величины (функции отклика) в соответствии с табл. 4.1.

На основании формулы определим зна­чения коэффициентов:

Таким образом, уравнение регрессии, полученное в ок­рестности базовой точки имеет вид

Наиболее существенно влияет на изменение функции от­клика фактор Х₂, так как коэффициент при нем по модулю наибольший.

Выберем шаг варьирования фактором Х₂, равный λ₂ = — 0,5 (шаг взят со знаком «минус», так как отыскивается максимум, а увеличение значения Х₂ в исходном уравнении регрессии приводит к уменьшению оценки выходной вели­чины).

Затем определим нормированный шар варьирования факторов в кодированной системе координат:

округляем до первой значащей цифры после запятой λ = —0,1. Зная λ, можно определить шаг, варьирования факто­ром Х₁ в натуральных единицах, позволяющий найти коор­динаты первой точки в направлении градиента (аналогично точке К₅ на рис. 4.3)

Тогда координаты точки К₅ при условии, что l=1 (пер­вый шаг продвижения к экстремуму), определяются в соот­ветствии с (4.9):

Установив значения Х₁ = 1, 4 и Х₂ = 6,5, в результате опы­та получим значение функции от­клика Y (К₅).

Значение выходной величины (вернее, его оценку) можно получить и на основании уравне­ния регрессии, используя выражение (4.9) для определения кодированных значений факторов при l = 1:

Тогда

Рис. 4.4. Сечение поверхности отклика в направлении крутого восхождения

В каждой рабочей точке необязательно проводить реаль­ные опыты. Чтобы уменьшить объем исследований, а сле­довательно, увеличить их эффективность, часть натурных, опытов на объекте заменяют на так называемые «мыслен­ные». «Мысленные» опыты заключаются в получении значе­ний выходной величины на основании имеющегося линей­ного уравнения регрессии при подстановке в него координат рабочей точки, определенных на основании выражения (4.9), как это было проделано выше. Реальные проверочные опы­ты проводятся через два-три «мысленных» опыта. На рис. 4.4 изображено сечение поверхности отклика верти­кальной плоскостью, след которой проходит через луч K₀M (см. рис. 4.3). «Идеальная» кривая 1 представляет собой действительное сечение поверхности отклика, а прямая 2 — значения выходной величины, полученные (предсказанные) на основании линейного уравнения регрессии.

Первый цикл крутого восхождения прекращается после прохождения частного экстремума (точка К₈), о чем судят по реальным опытам. Поэтому по мере приближения к част­ному экстремуму следует чаще проводить проверочные опы­ты, а после прохождения частного экстремума в ряде случаев поставить дополнительный проверочный опыт в промежутке между теми двумя рабочими точками, после которых на­чалось уменьшение выходной величины и в которых достиг­нуты примерно одинаковые и самые большие из всех пре­дыдущих значения Y. Кроме того, как следует из рис. 4.4, о прохождении области частного экстремума свидетельству­ет изменение знака разности между расчетными и опытными данными («мысленными» и натуральными опытами).

Второй цикл начинается из достигнутой точки частного экстремума, принятой за новую базовую точку, в окрест­ностях которой ставится ПФЭ или ДФЭ. По мере приближе­ния к. экстремальной области шаг варьирования следует уменьшать. Полученная новая линейная модель дает новое направление градиента, вдоль которого проводятся «мыс­ленные» и проверочные опыты до достижения в данном на­правлении частного экстремума.

Признаком достижения глобального экстремума являет­ся неадекватность линейной модели, полученной на основании ПФЭ или ДФЭ, когда коэффициенты при факторах становятся незначимыми, коэффициенты при парных вза­имодействиях резко возрастают.

Рассмотрим пример применения метода крутого восхож­дения при определении экстремальной (максимальной) об­ласти (основу его составляет приведенный в [19] пример изучения оптимального состава легированной стали).

Функция отклика Y зависит от семи факторов, граничные значения которых выбирались на основании накопленного ранее опыта. Исходные данные, матрица планирования, ре­зультаты опытов для пробных точек, координаты шагов варьирования при продвижении к экстремуму и значения функции отклика в этих точках сведены в табл. 4.2.

Для определения направления градиента в окрестностях базовой точки с уровнем достаточно в ее окрестностях построить линейную регрессионную модель, аппроксимиру­ющую поверхность отклика

коэффициенты которой пропорциональны проекциям гра­диента. Для этой цели достаточно, провести N ≥ 8 опытов. Следовательно, в окрестностях базовой точки достаточно провести ДФЭ вида 2^7-4, в котором факторы х₁, х₂ и х₃ считаются основными и для которых матрица плана строит­ся по известному правилу, как при ПФЭ.

Таблица 4.2

Уровни варьирования дополнительных факторов уста­навливаем на основании четырех генерирующих соотноше­ний, которым соответствуют определяющие контрасты. Пусть были выбраны следующие ГС:

которые дадут соответственно ОК:

В обобщенный определяющий контраст будут входить ис­ходные ОК, а также их сочетания по 2, по 3 и одно сочета­ние из всех четырех ОК. Общее число сочетаний, входящих в ООК, составит 4 + 6 + 4+1 = 15, и даст весьма слож­ную картину смешивания оценок коэффициентов. Однако смешивание оценок определять не надо, так как цель проб­ных опытов при МКВ — это определение направления градиента, т.е. оценок коэффициентов при фактора.

В соответствии с матрицей ДФЭ вида 2^7-4 при выбран­ных ГС были проведены опыты и получены значения функции отклика в точках плана. Исходя из формулы

найдены оценки коэффициентов и уравнение регрессии

Наиболее существенным является фактор х₃, т. к. коэффициент по модулю, является самым большим из всей совокупности . Для него устанавливаем шаг варьирования, например, λ₃ = 0,02.

Тогда в соответствии с (4.8) нормированный шаг варьи­рования

откуда в соответствии с выражением опреде­лим расчетные значения шага варьирования входными ве­личинами в естественной системе координат, позволяющие получить координаты точек, лежащих на направлении гра­диента. Так, для переменной Х₁ рабочий шаг варьиро­вания

Аналогично определяются и другие λ_j (результаты зане­сены в соответствующую строку табл. 4.2).

При крутом восхождении нет необходимости проводить реально все опыты — их можно заменить на «мысленные». Для этого на основании соотношения (4.9) определяются значения x_j и рассчитывается значение

Так, для первого «мысленного» опыта расчетное значение выходной величины

Аналогично найдем значения выходной величины для точек в направлении градиента, в которых проводятся «мыс­ленные» опыты, и занесем их в табл. 4.2. Как уже отмечалось, что на начальном этапе поиска экстремума натурный (ре­альный) опыт можно ставить через три—пять «мысленных». В рассматриваемом примере натурный опыт ставится после четырех «мысленных» и полученное, значение сравнивается с расчетным . В соответствии с рис. 4.4 можно предположить, что область экстремума уже пройдена, так как , т.е. расчетное значение больше реального. Поэтому следующий (шестой) опыт также надо провести натурным, чтобы уточнить область экстремума (в. действительности при пятом опыте находились вблизи этой области). Шестой опыт показывает, что область экстре­мума еще не достигнута, так как . Следовательно, тот факт, что в пятом опыте расчетное значение больше значения, полученного опытным путем , можно объяснить только тем, что уравнение регрессии хорошо аппроксимиру­ет поверхность отклика лишь в области базовой точки (об этом можно судить о совпадении расчетных и опытных дан­ных при реализации ДФЭ 2^7-4). Это следует из того, что ДФЭ 2^7-4 дает смешивание оценок и поэтому линия регрес­сии во всех точках будет давать значения функции отклика больше, чем в экспериментальных данных (на рис. 4.4 дан­ная ситуация представлена пунктирной линией). В даль­нейшем проводим только натурные опыты. Так как значе­ние выходной величины, полученное в шестом опыте, будет больше значений, полученных в седьмом, а также в девятом и десятом опытах, то точка восьмого опыта находится в области частного экстремума в найденном по ДФЭ 2^7—4 направлении градиента. На этом заканчивается первый цикл крутого восхождения, из рассмотрения которого следует, что даже за один цикл достигнуто значение функции откли­ка ( ), которое в 2,5 раза превосходит значение в базовой точке , что свидетельствует об эффек­тивности МКВ.

После достижения области экстремума проводится ее исследование. Для этой цели строятся планы более высоко­го порядка, так как поверхность отклика вблизи экстремума плохо аппроксимируется гиперплоскостью. Как уже отме­чалось, о достижении экстремальной области свидетельст­вует уменьшение по абсолютной величине коэффициентов при факторах и резкое возрастание коэффициентов модели, полученной на основании ПФЭ или ДФЭ в области текущей базовой точки.