2. Применение планов первого порядка в отсеивающих экспериментах

Перед проведением эксперимента необходимо прежде всего установить, какие из факторов включать в круг рас­сматриваемых, как влияющих на выходную величину ис­следуемого объекта. Отсутствие в модели хотя бы одного из существенных факторов может привести к ошибочным результатам, а следовательно, к неверным выводам. Однако учет всех влияющих величин приводит к дополнительным затратам, «затемняет» результат исследования. Поэтому перед проведением экспериментальных исследований объек­та необходимо прежде всего установить минимальный набор входных величин (факторов) на «шумовом» фоне остальных, которые в наибольшей степени характеризуют исследуемый объект. К «шумовому» фону относятся неучитываемые (нерегулируемые) влияющие величины и несущественные входные переменные, мало влияющие на выходную величину.

Если число предполагаемых факторов невелико (не более шести —восьми), то для предварительного изучения объекта можно применить дробный или полный факторный эксперимент, определить оценки коэффициентов модели, проверить их статистическую значимость и затем по абсо­лютному значению значимых факторов осуществить их ранжировку по степени влияния на выходную величину. Однако при большом числе предполагаемых влияющих факторов этот метод оказывается громоздким и трудоем­ким. В данном случае предпочтительней применение ме­тода случайного баланса [20], который базируется на сверх­насыщенном полном факторном эксперименте. Сверхнасы­щенными называются планы, имеющие отрицательное чис­ло степеней свободы, т. е. число коэффициентов модели пре­вышает число опытов N (предполагается, что модель содер­жит взаимодействия). Метод случайного баланса эффекти­вен в тех случаях, когда из всей совокупности независимых величин только 15...20 % являются существенными. При этом должны выполняться предпосылки множественного регрессионного анализа. Метод случайного баланса обла­дает меньшей чувствительностью, чем ПФЭ или ДФЭ, т.е. способностью выделять оценки , статистически значимо отличающиеся от нуля, но он обладает большей способ­ностью независимо выделять существенные переменные сре­ди большой совокупности рассматриваемых факторов.

Первоначально все линейные независимые переменные разбиваются на группы, содержащие по три-четыре фак­тора. При этом необходимо учитывать, исходя из физики процесса, взаимодействие факторов, если таковое существу­ет, то данные факторы необходимо включать в одну группу. Затем для каждой группы известными методами составля­ется матрица планирования ПФЭ. Пусть имеются 10 фак­торов, разбитых на три группы: I — х₁ ÷ x₄; II — х₅ ÷ x₈; III — х₉ ÷ x₁₀.

Для каждой группы составим матрицу планирования. Так как группа III содержит только два фактора, то матри­ца плана 2² повторяется четыре раза (как будто взяты два вектор-столбца из матрицы ПФЭ 2⁴). Данные матрицы приведены в табл. 3.8.

Таблица 3.8

i	x1	x2	x3	x4	kI	x5	x6	x7	x8	kII	x9	x10	kIII
1	-1	-1	-1	-1	7	-1	-1	-1	-1	11	-1	-1	10
2	+1	-1	-1	-1	5	+1	-1	-1	-1	16	+1	-1	15
3	-1	+1	-1	-1	8	-1	+1	-1	-1	3	-1	+1	2
4	+1	+1	-1	-1	10	+1	+1	-1	-1	7	+1	+1	6
5	-1	-1	+1	-1	11	-1	-1	+1	-1	9	-1	-1	8
6	+1	-1	+1	-1	15	+1	-1	+1	-1	8	+1	-1	7
7	-1	+1	+1	-1	14	-1	+1	+1	-1	4	-1	+1	3
8	+1	+1	+1	-1	1	+1	+1	+1	-1	12	+1	+1	11
9	-1	-1	-1	+1	13	-1	-1	-1	+1	5	-1	-1	4
10	+1	-1	-1	+1	6	+1	-1	-1	+1	13	+1	-1	12
11	-1	+1	-1	+1	9	-1	+1	-1	+1	14	-1	+1	13
12	+1	+1	-1	+1	2	+1	+1	-1	+1	10	+1	+1	9
13	-1	-1	+1	+1	4	-1	-1	+1	+1	15	-1	-1	14
14	+1	-1	+1	+1	3	+1	-1	+1	+1	1	+1	-1	16
15	-1	+1	+1	+1	12	-1	+1	+1	+1	2	-1	+1	1
16	+1	+1	+1	+1	16	+1	+1	+1	+1	6	+1	+1	5

Для формирования общей матрицы отсеивающего экс­перимента строкам матриц групп присваиваются случай­ные номера, в соответствии с таблицей случайных чисел (столбцы k_I, k_II, и k_III). В первую строку матрицы отсеива­ющего эксперимента записывается 8 строка из матрицы ПФЭ группы I факторов, 14 строка группы II и 15 строка группы III (k_I, k_II, и k_III для этих строк равны 1). Во вто­рую строку общей матрицы записываются строки, где fei, fen и fem принимают значения 2 (соответственно строки 12, 15 и 3) и т. д. Построенная таким образом матрица отсеи­вающего эксперимента приведена в табл. 3.9.

Таблица 3.9		24,1	79,2	55,0	19,4	8,4	47,9	-1,9	10,1	7,2	6,0	15,6	29,9	34,1	18,7	25,3	6,6
		57,5	79,2	55,0	19,4	8,4	81,3	31,5	43,5	7,2	39,4	15,6	63,3	67,5	18,7	25,3	43,0
		56,6	79,8	55,8	18,6	8,6	82,4	32,4	44,8	7,6	40,2	16,0	64,4	66,4	19,2	26,0	43,8
		58,4	78,6	54,2	20,2	8,2	80,2	30,6	42,2	6,8	38,6	15,2	62,2	68,6	18,2	24,6	42,2
	x10	+1	+1	+1	-1	+1	+1	-1	-1	+1	-1	+1	-1	+1	-1	-1	-1
	x9	-1	-1	-1	-1	+1	+1	+1	-1	+1	-1	+	+	-1	-1	+1	+1
	x8	+1	+1	-1	-1	+1	+1	-1	-1	-1	+1	-1	-1	+1	+1	+1	-1
	x7	+1	+1	-1	+1	-1	+1	-1	+1	+1	-1	-1	+1	-1	-1	+1	-1
	x6	-1	+1	+1	+1	-1	+1	+1	-1	-1	+1	-1	+1	-1	+1	-1	-1
	x5	+1	-1	-1	-1	-1	+1	+1	+1	-1	+1	-1	+1	+1	-1	-1	+1
	x4	-1	+1	+1	+1	-1	+1	-1	-1	+1	-1	-1	+1	+1	-1	-1	+1
	x3	+1	-1	+1	+1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	+1	+1	-1	+1	+1	+1
	x2	+1	+1	-1	-1	-1	-1	-1	+1	+1	+1	-1	+1	-1	+1	-1	+1
	x1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	-1	-1	-1	+1	-1	-1	-1	-1	+1	+1
	№ опыта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16

Рис. 3.3. Исходное поле рассеяния, построенное на основе матрицы отсеивающего эксперимента

В соответствии с полученной матрицей проводится экс­перимент. Порядок проведения опытов выбирают в соот­ветствии с законом изменения случайных чисел, т.е. производят рандомизацию. Для оценки воспроизводимо­сти опытов для каждой строки проводят опыты несколько раз. В табл. 3.9 приведены искусственно синтезированные данные и , а также среднее значение выходной вели­чины для данной точки факторного пространства. На ос­новании полученных результатов строится диаграмма рассеивания. Для каждого x_j выбирается своя ордината. Сле­ва от нее отмечаются точками те значения выходной величи­ны ,которые были получены, когда данный х_j фактор находился на верхнем уровне (принимал значение +1), а справа — для случая х_j = -1. Затем находят частные медианы для группы точек слева и справа ординаты х_j. Использование в методе случайного баланса в качестве центра распределения медианы объясняется тем, что при несимметричном распределении она является более эффективной оценкой, чем среднее арифметическое. Раз­мах между медианами может служить признаком влияния j-го фактора (соединены ломаными линиями). В рассматри­ваемом примере число точек для уровней x_j = +1 и x_j = —1 чётное, следовательно, медиана находится между точками 4 и 5. Обязательно необходимо брать разность между медианой слева и медианой справа. Чем больше разность между медианами, тем больший вклад х_j фактора в изменение выходной величины. Для рассматриваемого случая наибольший вклад вносит фактор х₅. Визуальное выявление преобладающих факторов можно осуществить также и по числу «выделяющихся» точек. «Выделяющимися» называются точки выходной величины , которые при уровне х_ij = -1 расположены выше «наибольшей» точки при другом уровне фактора x_ij = -1 (или ниже «наимень­шей»). Такое определение относится к положительным вкладам, когда медиана слева больше (выше), чем медиа­на справа. Для отрицательного вклада должно быть нао­борот. Так, для диаграммы рис. 3.3 фактор х₅ имеет 10 «выделяющихся» точек — четыре слева вверху и шесть справа внизу, а фактор х₄ имеет всего 6 таких точек — четыре сверху и одну снизу слева. Поэтому, несмотря на то что размах медиан для х₄ почти такой же, что и для х₅, наиболее существенным на первом этапе выделения явля­ется фактор х₅, т.е. вносит наибольший вкладе изменение выходной величины. Для определения оценки вклада данного фактора необходимо вначале найти разность В_i между медианами слева и справа для данного фактора, а затем вычесть из всех значений выходной величины , которые были получены, когда этот фактор х_j = +1 на­ходился на верхнем уровне. Так, для рассматриваемого самого существенного фактора в соответствии с рис. 3.3 и табл. 3.9

Рис. 3.4. Поле рассеяния после выделения существенного фактора

Исходя из значения В_j, можно найти «грубую» (приближенную) оценку коэффициента Для выделения других существенных факторов необходимо исключить влияние уже выделенного существенного фактора на выход­ную величину . Вычтем из вектор-столбца вклад В₅ фак­тора х₅ в точках (строках), где х₅ = +1, и получим вектор-столбец у₁, в котором не учитывается влияние х₅. Для дан­ного вектор-столбца строим диаграмму рассеивания, из ко­торой опять находим наиболее существенный фактор (рис. 3.4).

Если в результате сопо­ставления размаха медиан окажутся равноценно зна­чимыми сразу несколько факторов x_r, х_к и х_т, необ­ходимо поступить следую­щим образом. Строим табл. 3.10, в соответствую­щие графы которой заносят­ся значения получен­ные при соответствующих сочетаниях факторов, и найдем среднее значение выход­ной величины для каждой графы. Например, равно сум­ме значений полученных, когда х_r, х_т и х_к принимают значение +1, деленной на число этих значений, т.е. это среднее значение выходной величины преобразованного вектор-столбца, соответствующее определенной ситуации. Оценки вкладов факторов определяются разностью между суммами средних значений для уровней «плюс» и «минус». Например,

Таблица 3.10

	+xr		-xr
	+xk	-xk		+xk	-xk
+xm
-xm

Определив значение В_j, можно найти приближенную оценку коэффициента Полученные оценки коэффициен­тов проверяют на значимость по t-критерию Стьюдента. Условие значимости имеет вид . Для определения S²{ } необходимо вычислить дисперсию каждой i-й графы таблицы

где fi = l_i — 1 — число степеней свободы; l_i — число значений выходной величины, «попавшее» в i-ю графу табли­цы; — текущий номер графы таблицы.

Затем определяют усредненное значение дисперсии всех граф таблицы (аналогично усреднению построчных дисперсий для получения дисперсии воспроизводимости):

Если число степеней свободы f_i для каждой из граф оди­наково, то последнее выражение можно переписать в виде

где п — число граф таблицы.

В результате получаем оценку дисперсии коэффициента регрессии

с числом степеней свободы

Такую проверку значимости, естественно, можно про­водить в том случае, когда каждая графа таблицы содержит по меньшей мере два значения выходной величины. Если в результате проверки статистической значимости коэффи­циентов окажется, что коэффициент при одном из факторов, например х_r, незначим, то для дальнейшего выявления существенных факторов необходимо из вектор-столбца выходных величин вычитать значения В_т или (и) B_k для тех строчек матрицы отсеивающего эксперимента, когда фактора х_т = +1 или (и) x_k = +1.

После нахождения и ранжировки существенных факто­ров необходимо установить значимые парные взаимодей­ствия, общее число которых равно Построение диаграммы рассеяния для такого большого числа взаимодействий трудная, да и не нужная задача. Значимые парные взаимодействия можно определить на ос­нове визуального изучения диаграммы рассеяния для неза­висимых переменных. Для того чтобы парное взаимодейст­вие факторов x_j и х_к относилось к числу существенных, необходимо, чтобы на уровнях x_kx_j = +1 и x_kx_j = -1 были «выделяющиеся» точки. Для первого случая фак­торы х_k и x_j должны иметь «выделяющиеся» точки при одинаковых уровнях факторов (x_k = +1, x_j = +1 или х_к = —1, x_j = —1), а для случая x_kx_j = —1 — на разных уровнях взаимодействующих факторов. Из этого следует, что наибольшее число «выделяющихся» точек, а следовательно, наибольший вклад вносит то взаимодействие x_kx_j, у которого факторы х_к и x_j будут иметь большое чис­ло «выделяющихся» точек как на одинаковых, так и на разных уровнях; у таких факторов нижняя часть диаг­раммы должна быть похожа на зеркальное отображение верхней.

Процесс выделения существенных факторов заканчива­ется на основании F-критерия Фишера. После очередного этапа выделения значимых факторов и исключения их влия­ния на выходную величину определяют дисперсию преобра­зованного вектор-столбца у^т выходной величины по отно­шению к ее среднему

где т — номер шага выделения существенных переменных; N — число строк в общей матрице отсеивающего эксперимента; — среднее значение вектор-столбца преобразованных выходных величин на т-ом шаге выделе­ния существенных факторов.

Эту дисперсию сравнивают с оценкой дисперсии погреш­ности измерения S², которую вычисляют на основании серии дополнительных опытов. Для этого вычисляют значение коэффициента Фишера

и сравнивают с табличным при числе свободы числителя (N — 1) и знаменателя (и - 1), где и — число параллельных опытов.

Процесс уменьшения дисперсии является быстросходящимся. Когда F_p будет больше F_T, то дисперсия изме­рения будет соизмерима с дисперсией выходной величины, обусловленной изменением оставшихся невыделенных фак­торов. На этом процесс выделения существенных факторов заканчивается, а невыделенные факторы относятся к «шу­му».