2. Дробный факторный эксперимент

В полном факторном эксперименте число опытов соот­ветствует N = 2ⁿ. Поэтому при большом числе факторов п реализация ПФЭ становится практически невозможной. В действительности эффектами взаимодействий факторов больших порядков в большинстве случаев можно пренеб­речь (так как влияние их незначительно) или априори известно, что некоторые из них отсутствуют. Известно, что число опытов, по которым определяются оценки коэф­фициентов аппроксимирующего полинома — уравнении рег­рессий, должно быть равно числу определяемых коэф­фициентов или быть хотя бы на единицу больше. Исходя из изложенных предпосылок, число опытов для нахожде­ния оценок неизвестных коэффициентов такого уравнения для большинства практических случаев может быть суще­ственно уменьшено. Это достигается с помощью дробных факторных планов, или дробных факторных эксперимен­тов (ДФЭ), представляющих дробные реплики полного факторного эксперимента. Если в ПФЭ наблюдения произ­водятся во всех вершинах N-мерного гиперкуба, то при использовании дробных реплик наблюдения проводятся в некоторых из них.

Рассмотрим пример построения дробной реплики, пред­полагая вначале, что эффекты взаимодействий отсутству­ют, т.е. модель имеет вид:

_{Таблица 3.6}

При таком виде зависимости неизвестными являются четыре коэффициента, для определения которых достаточ­но, как минимум, четыре опыта. Рассмотрим матрицу ПФЭ типа 2³ (табл. 3.6). Для оценки коэффициентов a_j, достаточно четырех опытов (строк). Можно ли для этой цели выбрать первые четыре строки? Очевидно нет, так как видно, что в них х₃ находится только на нижнем уров­не и нельзя получить информации о влиянии фактора х₃ на выходную величину. То же можно сказать и о нижних четырех строках, где фактор х₃ находится только на верхнем уровне. Можно попытаться выбрать только четные или нечетные строки полной матрицы планирования, но ре­зультат будет неудачным. Выберем строки 5, 2, 3, 8 и построим матрицу плана

в которой первые два столбца являются матрицей плана двухфакторного эксперимента вида 2². Следовательно, чис­ло опытов в данном плане будет N = 2² = =2^3-1, или N = 2³ • 2^-1. Построенная таким образом матрица обла­дает тремя свойствами: ортогональностью, нормировкой и симметричностью. Но раз матрица плана обладает дан­ными свойствами, то, следовательно, она выбрана не про­извольным образом, а по какому-то расчету. Показатель степени в выражении для числа опытов (3 — 1) показыва­ет дробность матрицы плана ПФЭ N = 2³, т.е. дробная матрица планирования составляет полуреплику плана ПФЭ. Если сопоставить матрицу X дробного факторного эксперимента 2^3-1 и ПФЭ 2³, то можно заметить, что пере­менная х₃ в точках плана удовлетворяет уравнению

х₃ = х₁х₂,

которое имеет свой определенный смысл и называется генерирующим соотношением (ГС).

Таким образом, дробным факторным экспериментом ДФЭ называется эксперимент, реализующий строго опре­деленную часть ПФЭ. Матрицу, получаемую при ДФЭ, называют дробной матрицей планирования (ДМП). Число строк ДМП в общем случае определяется соотношением

N = 2^{п — р},

где п — число линейных факторов; р — показатель дроб­ности.

Для (п — р) факторов, условно называемых основными, строится матрица полного факторного эксперимента, а для р факторов, называемых дополнительными, уровни варьирования в опытах выбираются на основании генери­рующего соотношения. Генерирующее соотношение — это формальное равенство, показывающее, знаки каких ос­новных переменных, стоящих в правой части равенства, необходимо перемножить для получения знака дополни­тельного фактора (уровня варьирования), чтобы ДМП оказалась ортогональной, нормированной и симметричной.

Для рассматриваемой линейной модели можно построить и другую полуреплику ПФЭ, выбрав генерирующее соотношение х₃ = —х_хх₂. Таким образом, для трехфакторного эксперимента можно выбрать два генерирующих соотношения и построить две полуреплики, не имеющие общих строк.

Несколько иначе строятся полуреплики для случая четырехфакторного эксперимента вида 2^4-1. Предположим, что х₄ — дополнительный фактор. Для трех основных факторов (п — р) = (4 — 1) = 3 строим матрицу плана ПФЭ (табл. 3.7). Уровни варьирования дополнительного фактора (чередование знаков) устанавливаем на основании генерирующего соотношения.

Таблица 3.7

№ n/n	x1	x2	x3	x4	x1x4	x2x4
1	-1	-1	-1	+1	-1	-1
2	+1	-1	-1	-1	-1	+1
3	-1	+1	-1	-1	+1	-1
4	+1	+1	-1	+1	+1	+1
5	-1	-1	+1	+1	-1	-1
6	+1	-1	+1	-1	-1	+1
7	-1	+1	+1	-1	+1	-1
8	+1	+1	+1	+1	+1	+1

Пусть ГС будет х₄ = х₁х₂. В соответствии с выбранным ГС заполним вектор-столбец для х₄ путем перемножения вектор-столбцов х₁ и х₂. Построенная таким образом матрица плана ДФЭ позволяет раздельно оценить коэф­фициенты линейной модели Если же модель еще содержит и линейные взаимо­действия факторов, то правильный выбор ГС является оп­ределяющим при дальнейшей правильной трактовке ре­зультатов эксперимента. Предположим, что первоначальное предположение о виде модели оказалось неверно (напри­мер, она не адекватна экспериментальным данным в нуле­вой точке) и в ней должны присутствовать линейные вза­имодействия х₁х₄ и х₂х₄, т.е. модель имеет вид

у = а₀ + а₁х₁ + а₂х₂ + а₃х₃ + а₄х₄ + а₁₄х₁х₄ + а₂₄х₂х₄. (3.11)

Для нахождения оценок коэффициентов при взаимодей­ствиях факторов дополним матрицу плана вектор-столбцами х₁х₄ и х₂х₄. Чередование знаков в них, как известно, опре­деляется чередованием знаков вектор-столбцов факторов, входящих сомножителями в данные взаимодействия. Рассмот­рев матрицу, представленную в табл. 3.7, можно заметить, что чередование знаков в вектор-столбце х₁х₄ полностью совпадает с чередованием знаков в вектор-столбце х₂, а в вектор-столбце х₂х₄ — со знаком в вектор-столбце х₁. Ины­ми словами, в точках плана где проводятся опыты, выполняются равенства

х₁ = х₂х₄; х₂ = х₁х₄. (3.12)

Подставив их (3.11), получим

или

где

Таким образом, полуреплика 2^4-1, определяемая гене­рирующим соотношением х₄ = х₁х₂, позволяет найти несмещенные оценки методом наименьших квадратов , , , , соответственно параметрических функций а₀, а₁ + а₂₄, а₂ + а₁₄, а₃, а₄. Ниже приводится условная за­пись того, что найденные оценки являются несмещенными МНК-оценками этих параметрических функций:

Оценки (j = 1, 2) параметрических функций а_j на­зывают смешанными оценками линейных эффектов и эф­фектов взаимодействий.

Выражение (3.11) с учетом (3.12) можно записать еще в таком виде:

или

где

Следовательно, несмещенными МНК-оценками будут:

Таким образом, можно сделать вывод, что оценки ко­эффициентов а₁ и а₂₄, а также а₂ и а₁₄ оказываются смешан­ными, т.е. нельзя раздельно оценить влияние на выходную величину фактора и смешанного с ним линейного взаимо­действия.

Выбор ГС вида x₄ = —х₁х₂ приведет лишь к тому, что знак в смешанной оценке изменится, т.е.

Для установления факта смешения оценок коэффици­ентов модели нет необходимости на основе неправильно выбранного ГС строить матрицу плана, дополнять ее век­тор-столбцами взаимодействий, а затем в результате убе­диться в том, что выбранное ГС не позволяет раздельно оценить влияние факторов и их взаимодействий на выход­ную величину — оценки коэффициентов будут смешаны.

Связь между линейными факторами и их взаимодействия­ми можно определить с помощью определяющего контраста (ОК) — формального равенства, показывающего, какие не­зависимые переменные необходимо перемножить, чтобы во всех строках матрицы дробного планирования получить значение +1, т. е. ОК является ГС, по которому можно получить знак фиктивной переменной х₀ в любой строке дробной матрицы планирования. ОК легко получается из генерирующего соотношения путем умножения обеих час­тей ГС на левую его часть, содержащую дополнительный фактор.

В рассмотренном примере было выбрано ГС х₄ = х₁х₂. Домножим на х₄ и получим

'Так как переменная x_j в опытах принимает значение +1 или —1, то определяющий контраст примет вид

Умножим последовательно полученный ОК на незави­симые переменные и получим систему равенств:

Можно заметить, что равенства х₁ = х₂х₄ и х₂ = х₁х₄ совпадают с равенствами (3.12), полученными ранее при анализе построенной и затем дополненной матрицы дроб­ного факторного эксперимента. Существует взаимное соответствие между системой параметрических функций и системой равенств, т.е.

Следовательно, исходя из соотношений

оценок коэффициентов при независимых переменных, по­лученных по аналогии, можно судить о полной системе смешивания а именно: оценки всех коэффициентов при независимых переменных, кроме коэффициента , смешаны с оценками коэффициентов при парных взаимодействиях. Оценку коэффициента

можно считать несмещенный МНК-оценкой, так как чет­верное взаимодействие факторов либо отсутствует, либо его влияние пренебрежимо мало. Значит, если модель со­держит значимые парные взаимодействия х₁х₄ и х₂х₄, то ГС х₄ = х₁х₂ не подходит.

При эксперименте вида 2^4-1 выбор уровней варьирова­ния дополнительным фактором х₄ возможен на основании следующих генерирующих соотношений (кроме уже рас­смотренных х₄ = х₁х₂ и х₄ = —х₁х₂):

Возьмем для сравнения ГС х₄ = —х₁х₂х₃ и рассмотрим смешивание оценок. Для этого выберем определяющий контраст:

Умножим последовательно независимые переменные на ОК и получим систему равенств, позволяющую оценить смешивание оценок при данной дробной матрице планиро­вания (с учетом ):

Отсюда получим систему оценок коэффициентов модели

из которой следует, что при х₄ = —х₁х₂х₃ коэффициенты при независимых переменных смешаны с коэффициентами при тройном взаимодействии факторов.

Разрешающей способностью плана ДФЭ называется его способность получать такие оценки коэффициентов при независимых переменных, в которых идеальные ко­эффициенты (их математические ожидания) смешаны с коэффициентами взаимодействий наиболее высокого по­рядка. Чем с большим порядком взаимодействий смешаны факторы, тем большей разрешающей способностью обла­дает данный план. Данное определение основывается на том, что в опытах связи сразу между всеми факторами ме­нее вероятны, чем между какими-либо их комбинациями. Поэтому можно считать, что чем выше порядок взаимодей­ствия, тем менее он значим и с тем большей уверенностью им можно пренебречь. Разрешающая способность полуреплики определяется числом элементов (факторов), вхо­дящих в ОК. Если матрица ДФЭ построена на основе ГС х₄ = x₁x₃, т.е. OK 1 = x₁x₃х₄ , то разрешающая способ­ность такого плана равна III и полуреплика такого вида записывается так: . Примером полуреплики 2^4-1 с раз­решающей способностью IV являются полуреплики с опре­деляющими контрастами:

Эти полуреплики называются главными в классе полуреплик типа 2^4-1 и записываются . Они строятся на основе главных определяющих контрастов, включающих линейные факторы. Главные полуреплики обладают наи­большей разрешающей способностью по отношению к ли­нейным факторам — линейные эффекты смешаны с эффек­тами взаимодействий наиболее высоких порядков. Однако иногда при наличии определенных априорных сведений о значимости некоторых тройных взаимодействий может оказаться более выгодным использовать планы и с меньшей разрешающей способностью, но такие, в которых значимые тройные взаимодействия не смешаны с линейными фактора­ми и значимыми парными взаимодействиями.

Иногда может оказаться, что в результате осуществле­ния ДФЭ типа 2^4-1 число значимых взаимодействий будет большим, чем предполагалось. Это в основном проявляется в неадекватности полученной математической модели. Как уже было показано, изменение знака в ГС на противопо­ложный приводит к изменению знака в системе совместных оценок . Знак в системе совместных оценок показывает, является ли расчетная оценка при данном ГС в среднем преувеличенной по сравнению с ее математическим ожида­нием (плюс) на значение коэффициента взаимодействия, либо преуменьшенной (минус) тоже в среднем, если по данному ДФЭ провести опыты несколько раз. Если после реализации опытов первой полуреплики, например х₃ = х₁х₂ для ДФЭ типа 2^3-1, возникает сомнение в том, что коэффициенты при парных взаимодействиях равны ну­лю:

то можно поставить еще четыре опыта (реализовать вто­рую полуреплику при ГС х₃ = -x₁x₂) и получить еще од­ну систему совместных оценок

Среднее из суммы для первой и второй систем совместных оценок дает независимую оценку коэффициентов при факторах

а среднее из разности дает независимую оценку для линей­ных взаимодействий

(3.13)

Проводя расчеты по формулам (3.13) и впоследствии осуществив статистическую обработку, можно окончатель­но убедиться в статистической значимости (незначимости) полученных оценок коэффициентов при взаимодействиях.

Активные эксперименты, проводимые в соответствии с планом ДФЭ, обладают важной особенностью: при обра­ботке последующей серии экспериментов полностью ис­пользуется информация, полученная при обработке предыдущей серии (полуреплики), т. е. эксперимент, про­водимый во вторую очередь, дополняет эксперимент, про­веденный на первом этапе исследования.

Данное свойство используется для случая, когда тре­буется поставить несколько опытов и возникает опасность временного дрейфа выходной величины. Для исключения влияния временного дрейфа ПФЭ разбивают на блоки. Так, как ПФЭ 2³, приведенный в табл. 3.6, целесообразно разбить на два блока при ГС х₃ = х₁х₂ и х₃ = —х₁х₂. Сопо­ставление оценок свободного члена для обеих полуреплик и при условии отсутствия значимого тройного взаимо­действия х₁х₂х₃ позволяет выявить влияние временного дрейфа и затем учитывать его при дальнейшей обработке результатов эксперимента.

При большом числе факторов и предполагаемом линей­ном виде модели избыточность ПФЭ резко возрастает. Так, при числе факторов п = 5 необходимо по результатам эксперимента оценить 6 коэффициентов, так как модель имеет вид

Для этой цели достаточно провести 2^{п — р} > 6 опытов. Исходя из минимальной избыточности ДФЭ, выбираем N = 8, т.е. (п — р) = 3. Следовательно, р = 2 и ДФЭ является 1/4 частью ПФЭ. Дополнительных факторов при этом будет два, следовательно, необходимо выбирать два генерирующих соотношения. Система смешивания оценок в этом случае будет сложнее, чем при построении полуреплики. Для нахождения системы смешивания также исполь­зуется определяющий контраст.

Пусть для построения четверть-реплики 2^5-2 исполь­зуются генерирующие соотношения:

х₄ = x₁x₂; х₅ = х₁х₂х₃.

Запишем определяющие контрасты для этих соотношений:

1 = х₁х₂х₄; 1= х₁х₂х₃х₅.

Если перемножить между собой эти исходные определя­ющие контрасты, то в соответствии с определением получим еще один ОК

1 = х₃х₄х₅.

Обобщенный определяющий контраст (ООК) — равен­ство, содержащее все возможные комбинации определяю­щих контрастов. Он включает исходные определяющие контрасты, построенные на основе генерирующих соотно­шений, а также их комбинации (произведения) по два, по три и т. д.

Для рассматриваемого примера ООК запишется так:

1 = х₁х₂х₄ = х₁х₂х₃х₅ = х₃х₄х₅.

Умножая обобщенный определяющий контраст после­довательно на х_j, ( ), получаем следующую систему смешивания независимых переменных и взаимодействий;

х₀ = х₁х₂х₄ = x₃x₄x₅ = х₁х₂х₃x₅;

х₁ = х₂х₄ =x₁x₃x₄x₅ = х₂х₃x₅;

х₂ = х₁х₄ =x₂x₃x₄x₅ = х₁х₃x₅;

х₃ = х₁х₂x₃х₄ = x₄x₅ = х₁х₂x₅;

х₄ = х₁х₂ = x₃x₅ = х₁х₂х₃x₄x₅;

х₅ = х₁х₂х₄x₅= x₃x₄ = х₁х₂х₃.

Отсюда, по аналогии ранее рассмотренным, можно записать несмещенные МНК-оценки для следующих пара­метрических функций;

Из приведенной системы оценок следует, что оценки коэффициентов при факторах a_j ( ) смешаны с оцен­ками коэффициентов при парных взаимодействиях, поэтому если приведенные взаимодействия значимы, то ГС выбраны неправильно, или же данный ДФЭ не позволяет раздельно оценить коэффициенты, т.е. необходимо вначале достроить до полуреплики, а если это не поможет, то достроить до ПФЭ.

Если модель включает значимые взаимодействия х₁х₃ и х₁х₅, то при выбранных ГС x₄ = х₁х₂ и х₅ = х₁х₂х₃, из системы смешивания

х₁х₃ = х₂х₃х₄ = х₁х₄х₅ = х₂х₅;

х₁х₅ = х₂х₄х₅ = х₁х₃х₄ = х₂х₃

следует, что эти парные взаимодействия не будут смешаны с факторами, а с другими парными взаимодействиями.

Обозначим r₁, r₂, ..., r_i числа элементов ОК, входящих в ООК дробной реплики 2^n-p. Тогда разрешающей способ­ностью этой реплики называют величину r = min {r₁, r₂, …, r_i}.

В рассмотренном примере дробная реплика 2^5-2 с обоб­щенным определяющим контрастом такова:

1 = x₁x₂x₄ = х₁х₃х₅ = х₂х₃х₁х₅.

Составляющие ОК, входящие в ООК, содержат соответ­ственно число элементов r₁ = 3, r₂ = 3 и r₃ = 4. Следова­тельно, разрешающая способность четверть-реплики 2^5-а будет равна трем и ее можно записать в виде .

Так, если матрица плана ДФЭ обладает свойствами орто­гональности, нормировки и симметричности, то оценки ко­эффициентов находятся на основании выражения

Статистическая обработка результатов ДФЭ аналогич­на обработке при ПФЭ.