2. Обработка результатов эксперимента

Основной целью регрессионного анализа является полу­чение по результатам активного эксперимента модели, адекватно описывающей поведение исследуемого объекта. Проведение эксперимента должно строго соответство­вать выбранному случайному порядку. Установка уровней факторов X_j должна происходить в соответствии с теоре­тическими предпосылками регрессионного анализа и быть возможно более точной. Регистрация результатов изме­рения выхода Y должна соответствовать реально обеспе­чиваемой в опыте точности измерения. Если нет уверен­ности, что условия проведения опытов остаются постоян­ными, то опыты в каждой точке факторного пространства дублируются (проводится серия опытов). Предположим, что в каждой точке факторного пространства, которой соответ­ствует одна из строк матрицы планирования, проводится серия из т опытов. Для любой i-й точки вычисляется сред­нее значение выходной величины

и построчную дисперсию выходной величины (точнее ее оценку):

Найденные таким образом построчные дисперсии исполь­зуются для проверки воспроизводимости опытов, заклю­чающейся в проверке однородности построчных диспер­сий — одной из основных предпосылок множественного регрессионного анализа.

В дальнейшем будем рассматривать этапы обработки результатов эксперимента на примере двухфакторного эксперимента, реализация которого дала следующие зна­чения выходной величины (табл. 3.3).

Таблица 3.3

Определим среднее значение выходной величины в каждой точке (для каждой строки т = 3):

а также построчную дисперсию выходной величин

Полученные результаты внесены в табл. 3.3.

Среди всей совокупности рассчитанных построчных дисперсий выбирается максимальная и берется отношение данной дисперсии к сумме всех построчных дисперсий ,т.е. определяют расчетное значение коэффициента Кохрэна

который показывает, какую долю в общей сумме построч­ных дисперсий занимает максимальная из них — эта доля взята как мера различия между дисперсиями. В случае идеальной однородности построчных дисперсий коэффи­циент G_p стремился бы к значению 1/N. Расчетное значе­ние коэффициента Кохрэна сравнивается с табличным (критическим) значением G-критерия, которое выбирается из таблиц для принятого уровня значимости α и для чисел степени свободы соответственно числителя f₁ и знаменате­ля f₂:

Для этого значение f₁ находится в горизонтальном за­головке таблицы (выбирается столбец), а f₂ выбирается сле­ва в вертикальном заголовке таблицы (выбирается строка) и на пересечении получаем табличное значение G_T коэф­фициента Кохрэна. Если выполняется условие

то с выбранным уровнем статистической значимости α (с достоверностью 1-α) все построчные дисперсии при­знаются однородными. В противном случае следует отверг­нуть гипотезу об однородности построчных дисперсий, что является нарушением одной из главных предпосылок регрессионного анализа — дальнейшая статистическая об­работка результатов эксперимента не имеет смысла. При создании такой ситуации необходимо увеличить число параллельных опытов или провести эксперимент заново, обратив особое внимание на правильность и точность установки уровней входных факторов, а также применить более точные приборы или методы измерения.

По данным табл. 3.3 максимальная построчная диспер­сия была получена в первом опыте. Определим расчетное значение коэффициента

G_p = 43/(43 + 16 + 12 + 4) = 0,57.

В соответствии с таблицей, приведенной в приложении (П.1) для α = 0,05; f₁ = 3-1 = 2 и f₂= 4, находим G_T = 0,77; G_T>G_p, т.е. условие (3.5) выполняется.

Убедившись в однородности, переходят к определению оценок коэффициентов по формуле

где k — номер вектор-столбца.

Для этого воспользуемся табл. 3.3. Получим:

Найденные таким образом коэффициенты уравнения регрессии необходимо оценить на статистическую значи­мость. Оценка производится по t-критерию Стьюдента.

Для каждого коэффициента вычисляется коэффициент

т.е. проверяется отклонение от нуля найденной оценки коэффициента . Здесь - оценка среднего квад­ратического отклонения погрешности определения коэффициента.

Оценка дисперсии коэффициентов, найденных по экс­периментальным данным:

Примем во внимание, что x_ik во всех опытах в кодиро­ванном виде принимают значения +1 или —1, поэтому для случая независимых случайных величин знак под знаком суммы не влияет на результат. Кроме того, извест­но, что дисперсия среднего в т раз меньше дисперсии одного измерения (m — кратность проведения опытов), т.е.

На основании вышеизложенного и с учетом однород­ности построчных дисперсий можно записать

Оценка генеральной дисперсии воспроизводимости , характеризующей точность (усредненную) одного измере­ния, является средняя из всех построчных дисперсий

или

Следовательно, оценку дисперсии коэффициента можно записать в виде

(3.6)

В некоторых случаях, когда есть уверенность, что дис­персии однородны, оценкой дисперсии воспроизводимости может служить одна из построчных дисперсий или же оценка дисперсии для любой точки факторного простран­ства (чаще всего это бывает центр плана).

Когда число параллельных опытов в каждой точке фак­торного пространства различно, при усреднении однород­ных дисперсий для определения оценки дисперсии воспро­изводимости пользуются средневзвешенным значением дис­персий, взятых с учетом степеней свободы

где f_i = m_i - 1 — число степеней свободы в i-м опыте; m_i — число параллельных опытов.

Сущность t-критерия Стьюдента проверки статистиче­ской значимости найденных оценок коэффициентов заклю­чается в следующем. Изменение выходной величины за­висит от влияния k-го члена аппроксимирующего полино­ма и неуправляемых и неконтролируемых факторов.

Влияние k-го фактора, отклонение оценки k-го коэф­фициента от нуля учитывается коэффициентом

влияние же неуправляемых или неконтролируемых фак­торов, а также погрешности измерения выходной величины может быть учтено при помощи дисперсии воспроизводи­мости , имеющей N (т — 1) степеней свободы (N степе­ней свободы «потеряно» на вычисление построчных сред­них). При выбранном уровне статистической значимости α по таблицам распределения Стьюдента при числе степе­ней свободы f = N (т — 1) находят табличное значение коэффициента t_табл. Найденное табличное значение сравни­вается с расчетным значением коэффициента. Если выпол­няется неравенство

t_табл > t_k (3.7)

то принимается нуль-гипотеза, т.е. с принятым уровнем статистической значимости α (статистической достоверно­стью 1 — α) и числе степеней свободы f считается, что найденный коэффициент является статистически незна­чительным и его следует исключить из уравнения ре­грессии.

Таким образом, при выполнении условия (3.7) нельзя определить (в 100 — α случаях), чем вызвано изменение выходной величины: влиянием k-го члена уравнения регрес­сии или влиянием неучтенных факторов и наличием слу­чайной погрешности измерения выходной величины.

Для рассматриваемого примера оценка дисперсии вос­производимости как оценка усредненных построчных дис­персий в соответствии с табл. 3.3 будет

Как уже отмечалось, ввиду свойства нормировки оцен­ки коэффициентов будут найдены с одинаковой дисперси­ей, т.е.

Тогда

Определим расчетное значение коэффициента Стьюдента t_k для найденных оценок коэффициентов :

Аналогично получим

Из таблиц приложения П. 2 и при уровне статистиче­ской значимости α = 5 % и числе степеней свободы f = N (т — 1) = 4 (3 — 1) = 8 определим табличное зна­чение коэффициента. Оно равно t_т = 2,3. Сопоставим рас­четные значения t_k с табличным t_т. Неравенство (3.7) вы­полняется для t₁₂. Следовательно, можно предположить, что коэффициент статистически незначим и его можно исключить из уравнения регрессии — в рассматриваемом случае (для данного объекта) влияние парного взаимодей­ствия отсутствует или оно незначительно.

Однако перед тем как принять гипотезу = 0 необходи­мо убедиться в правильности поставленного эксперимента. Может оказаться, что выбор диапазона варьирования не­зависимой переменной (Х_{к max} — Х_{к min}) мал, а суммарная случайная помеха, наложенная на выходную величину объекта, велика. Это также может привести к статистиче­ской незначимости коэффициента. Убедившись, что с этой точки зрения эксперимент проведен правильно (взять бо­лее точное измерительное устройство, увеличить число параллельных опытов), можно коэффициент исключить из уравнения регрессии. Так как полный факторный экс­перимент обладает свойством ортогональности, то исклю­чение данного коэффициента из уравнения регрессии не повлияет на найденные оценки других коэффициентов.

Таким образом, уравнение регрессии исследуемого объекта, содержащее статистически значимые коэффици­енты, будет (в кодированной системе)

Для каждого коэффициента можно найти довери­тельный интервал, в который должен попасть истинный генеральный коэффициент с принятым уровнем зна­чимости, для чего применяют формулу

Таким образом, истинные значения коэффициентов модели будут находиться в пределах

Полученное уравнение регрессии необходимо проверить на адекватность исследуемому объекту, т.е. установить, насколько хорошо оно аппроксимирует полученные экс­периментальные данные. Для этой цели необходимо оце­нить, насколько отличаются средние значения выходной величины, полученной в точках факторного пространства в результате проведения опытов, и значения получен­ного из уравнения регрессии в тех же точках факторного пространства.

Для этого вычисляют остаточную дисперсию, которую чаще всего называют дисперсией адекватности:

(3.8)

где т — число параллельных опытов в i-й точке фактор­ного пространства; l — число определенных в результате проведения N опытов, значимых коэффициентов.

Если число параллельных опытов различно, то оценка дисперсии адекватности находится из выражения

Отличие от нуля объясняется, в общем случае, двумя причинами: действительно неадекватностью урав­нения регрессии физическому объекту (неправильно вы­бран аппроксимирующий полином) и наличием случайной погрешности восприятия, характеризуемой .

Если модель адекватна, то оценка дисперсии адекват­ности, как и оценка дисперсии воспроизводимости, зави­сят только от погрешности восприятия выходной величины, обусловленной суммарной помехой, и в пределе будут одинаковыми. Поэтому адекватность порученной мо­дели проверяют путем сравнения оценок двух дисперсий и и F-критерию Фишера

Найденное расчетным путем F_p сравнивают с табличным значением F_T, которое определяется при уровне статис­тической значимости α и числе степеней свободы f_ад = N — I и f_B = N(m — 1), выбранными в горизонталь­ном и вертикальном заголовках таблицы, соответственно. Если

(3.9)

то полученная математическая модель с принятым уров­нем статистической значимости α адекватна эксперимен­тальным данным и ее можно использовать для дальнейших исследований.

Возвратимся к рассматриваемому примеру. Было получено уточненное уравнение регрессии Определим для полученной модели оценку дисперсии адекватности. Вначале вычислим значение соответствующее строкам матрицы плана:

Рассчитаем в соответствии с (3.8) оценку дисперсии адекватности:

Полученное значение оценки дисперсии адекватности = 27 разделим на оценку дисперсии воспроизводи­мости = 18,75 и получим расчетное значение коэф­фициента Фишера F_p = 27/18,75 = 1,44.

Табличное значение коэффициента Фишера (см. п. 3) при уровне статистической значимости α = 0,05 и числе степеней свободы f_ад = (4 — 3) = 1 и f_в = N (т — 1) = 4 (3 — 1) = 8 будет F_T = 5,32. Следовательно, при выбранном уровне статистической значимости α = 0,05 полученная в результате эксперимента адекватна исследуемому объекту. Следует заметить, что данная модель представлена в кодированной системе координат. Чтобы получить ее в естественной системе, необходимо использовать формулы перехода (3.1).

На практике часто оказывается, что линейное уравнение регрессии, адекватно описывающее опытные данные, которые были поставлены в точках факторного пространства, соответствующих строкам матрицы плана, неудовлетворительно харак­теризуют внутреннюю часть изучае­мой области факторного пространства. На рис. 3.2 показан случай парной зависимости, когда опытные и расчетные дан­ные в точках, где проводился эксперимент (в кодирован­ной системе х₁₁ = —1 и х₂₁ = 1), совпадают, однако внутри поля корреляции наблюдаются большие отклонения между регрессионной и реальной зависимостями.

Рис. 3.2. К проверке адекватности линейной модели при проведении

серии опытов в центре плана

Для повышения надежности проверки адекватности модели часто ставят дополнительную серию параллельных опытов в базовой точке x_j = 0, Тогда число точек факторного пространства, по которым оценивается адекватность уравнения регрессии, увеличивается на одну и оказывается равным N+1, т.е. увеличивается на едини­цу и число степеней свободы f_ад, что увеличивает статисти­ческую надежность принимаемого решения. Однако ба­зовая точка не учитывается в расчете коэффициентов урав­нения регрессии. Значение выходной величины в центре плана должно быть соизмеримо (в пределах дисперсии вос­производимости) со свободным членом уравнения регрес­сии, т.е.

где δ — наперед заданные значения, зависящие от .

В случае нарушения этого неравенства для математи­ческого описания рассматриваемой области факторного про­странства потребуется уравнение более высокого порядка.

Рассмотрим еще один пример построения математичес­кой модели по результатам эксперимента. Предположим, что на объект воздействуют три фактора

связанные с выходной величиной следующей зависимостью:

Таблица 3.4

Среднее значение X_jcp = (Х_{j max} + X_{j min})/2 и интер­вал варьирования независимых переменных Δ_j = (Х_{j max} — X_jcp)/2 будут:

Подставим значения X_jcp и Δ_j в формулу перехода (3.1) и получим уравнение модели в кодированной системе координат

Оценки коэффициентов этой модели будем находить по экспериментальным данным, полученным в результате проведения ПФЭ типа 2ⁿ, где п = 3. В соответствии с из­вестным правилом построим матрицу полного трехфактор­ного эксперимента, обладающую свойствами ортогональ­ности, симметричности и нормировки (табл. 3.4).

Предполагается, что опыты однородны. Поэтому в каж­дой точке факторного пространства можно проводить только по одному опыту (серия параллельных опытов не прово­дится). Значения выходной величины для этого случая приведены в соответствующей графе табл. 3.4.

Для определения оценок коэффициентов уравнения рег­рессии дополним матрицу плана (обведена более жирными линиями) вектор-столбцами фиктивной переменной и ли­нейными взаимодействиями факторов.

По результатам эксперимента определим оценки ко­эффициентов (3.3):

Для определения оценки дисперсии воспроизводимос­ти, а также более достоверной проверки адекватности полу­ченной модели в центре плана была поставлена дополни­тельная серия из р = 3 опытов и получены следующие зна­чения!

Среднее значение выходной величины в центре плана (х = 0)

а дисперсия в центре плана, принимаемая за оценку дис­персии воспроизводимости, определится так:

Поскольку выполняется условие нормировки, оценки коэффициентов данной модели будут найдены с одинаковой дисперсией, т.е.

кратность опыта в каждой i-й точке ( ) равна единице, т.е. m = 1, откуда

Проверим статистическую значимость найденных коэффициентов , найдем расчетные значения коэффициента

Табличное значение коэффициента Стьюдента при α = 0,05 и числе степеней свободы (р — 1) = (3 — 1) = 2 (оценка дисперсии воспроизводимости проводилась на основании серии из р = 3 опытов в одной точке — цент­ре плана) будет (см. П. 2) t_т = 4,3.

Сравнив табличное t_т и расчетное t_k значения коэф­фициентов, установим, что незначимыми (так как t_K < t_т) являются найденные оценки коэффициентов , , и .

Уравнение регрессии, содержащее статистически зна­чимые коэффициенты

(3.10)

Полученную таким образом математическую модель необходимо проверить на адекватность. Для этого опре­делим оценку дисперсии адекватности. Так как кратность опытов равна единице, т. е. т = 1, то

Предварительно убедившись, что уравнение регрессии (3.10) «подходит» для описания экспериментальных дан­ных, поскольку среднее значение выходной величины в центре плана = 8,6, а оценка свободного члена = 8,5 и определим значение выходной величины на основании уравнения регрессии в точках плана. Для первой точки

Аналогично получим значения и для других точек пла­на, которые сведем в табл. (3.5), исходя из которой найдем оценку дисперсии адекватности при условии, что N — I = 8 — 4 (l = 4), т.е. уточненное уравнение регрессии содержит четыре коэффициента

Зная значение , определим расчетное значение ко­эффициента Фишера

Число степеней свободы f_ад = (N —l) = 4, f_в = р — 1=2. Задавшись уровнем статистической значимости (см. П. 3) α = 0,05 при f_ад = 4 и f_в = 2, определим табличное значение F_T = 19,3. Следовательно, с достовер­ностью (1 — α) = 95 % уравнение регрессии адекватно экспериментальным данным.

Таблица 3.5

№ n/n
1	2	1	1	1
2	6	6	0	0
3	4	4	0	0
4	8	9	1	1
5	10	11	1	1
6	18	16	2	4
7	8	8	0	0
8	12	13	1	1

Полученное уравнение регрессии представлено в коди­рованной системе координат. Для перехода в естественную систему координат воспользуемся формулой перехода (3.1) и значениями Х_jср и Δ_j.

Тогда

или

Окончательно получим уравнение регрессии

адекватно описывающее экспериментальные данные.