3. Латинские и греко-латинские квадраты

При изучении влияния одного и двух факторов план экс­перимента был довольно прост. При увеличении числа рас­сматриваемых факторов, влияющих на объект, объем иссле­дования резко возрастает и анализ экспериментальных дан­ных усложняется. Применение так называемых «латинских квадратов» позволяет значительно уменьшить объем исследований и упростить об­работку данных. План исследования вида «клас­сический латинский квадрат» позволяет ис­следовать влияние трех факторов, варьируемых на N уровнях, но для этой цели используется только N² комбинаций уровней факторов вместо N³ возмож­ных комбинаций, причем существование различий можно проверить для каждого из трех факторов. Размерность ла­тинского квадрата определяется числом уровней варьирова­ния факторов; если N = 3, то говорят о латинском квадра­те 3 × 3 [18].

Первоначально латинские квадраты нашли применение при агротехнических экспериментах — два из трех факторов указывали положение ячейки на поле в двумерной системе координат, а третий (основной) представлял собой, напри­мер, способ обработки, урожайность. Такой подход позво­лял при исследованиях избавляться от влияния «мешающих факторов» — колебания плодородия при переходе от одной ячейки к другой. Впоследствии планы такого рода начали находить широкое распространение и в научно-технических исследованиях.

План типа латинского квадрата приведен в табл. 5.7. Уровни варьирования двух факторов представлены в виде строк (фактор I) и столбцов (фактор II), а третий фактор, уровни которого обозначены буквами, заносится в ячейки квадрата 4×4.

Таблица 5.7

В первую строку (первый уровень фактора I) в упоря­доченной последовательности заносятся буквенные обозна­чения уровней третьего фактора. Порядок расположения уровней третьего фактора в последующих строках опреде­ляется путем сдвига элементов предыдущей строки вправо и перевода последнего элемента в первый столбец (в сочета­ние с первым уровнем фактора II). Построенный таким обра­зом план имеет на диагоналях одни и те же уровни третьего фактора (на главной диагонали располагается уровень А), а уровни-буквы распределены таким образом, что в каждой строке и каждом столбце каждая буква встречается только один раз. Если имеется N строк и N столбцов, то построен­ный латинский квадрат содержит N² ячеек и в каждой ячей­ке комбинация номера строки, столбца и буквы дает сочета­ние уровней первого, второго и третьего факторов. Таким образом, используются N² различных комбинаций уровней факторов, что значительно уменьшает объем исследования. При рассмотрении матрицы плана типа латинский квадрат можно заметить, что какой-либо общий член, описывающий взаимодействие, нельзя отделить от случайных величин и по­этому нельзя получить остаточную сумму квадратов , не зависящую от значения какого-либо фактора. Следова­тельно, уменьшение объема исследования приводит к невоз­можности раздельной оценки влияния взаимодействия. Ес­ли взаимодействия существуют, то они увеличивают оста­точную дисперсию , обусловленную влиянием случайных величин. Однако три суммы квадратов для разностей уров­ней факторов и остаточная (пусть даже увеличенная) сумма квадратов позволяют осуществить проверку эффектов изме­нения уровня каждого из факторов в отдельности.

Возможно и другое построение латинского квадрата, когда третий фактор в упорядоченном порядке располага­ется в первом столбце, а остальные столбцы формируются путем перестановки последнего уровня третьего фактора в предыдущем столбце на первое место (в первую ячейку) и сдвигом вниз без изменения остальных уровней факторов. Основной особенностью планов типа латинский квадрат является то, что все три фактора должны иметь одинаковое число уровней N, что относится к недостаткам. От этого не­достатка можно «избавиться», если использовать так назы­ваемые фиктивные уровни, т.е. уровень фактора, представ­ляющий наибольший интерес, повторяется несколько раз. В табл. 5.8 показан план, когда два фактора, образующих строки и столбцы, имеют по четыре уровня, а третий фактор имеет три уровня (А, В, С). Данный план получен из плана, приведенного в табл. 5.7 путем замены уровня D уровнем А.

Таблица 5.8

После построения плана по изложенному правилу его столбцы (или строки) переставляют случайным образом и проводят эксперимент. Суммы квадратов, объясняющих эф­фект изменения каждого из факторов определяются на основании разложения общей суммы квадратов

на составляющие:

где , , — суммы квадратов отклонений для фак­торов, — остаточная сумма квадратов; i — номер строки (уровень фактора I): k — номер столбца (уровень фактора II); l —номер буквы в упорядоченном виде (уровень третьего фактора);

для третьего фактора y_ikl = 0 для ячеек, где третий фактор не находится, на l-м уровне

Оценки дисперсий, вызванных влиянием факторов, оп­ределяется так:

где числа степеней свободы .

Поскольку остаточная дисперсия

то расчетные значения коэффициентов Фишера (сопоставле­ние которых с табличным значением F_T позволяет сделать вывод о влиянии фактора) определяется так:

при числе степеней свободы (N— 1) и (N— 1)·(N— 2).

Как уже отмечалось, план типа латинский квадрат поз­воляет одновременно изучать три фактора. Для большинства случаев число изучаемых факторов можно увеличить до четырех путем наложения на основной латинский другого латинского квадрата такой же размерности N × N и орто­гонального первоначальному, т.е. каждая буква одного латинского квадрата один раз появляется на одной и той же позиции, как и каждая буква другого латинского квадрата, т.е. каждая буква первого квадрата встретится только один раз с каждой буквой другого квадрата. Чтобы различать уровни факторов, входящих в первоначальный и орто­гональный квадрат, во втором латинском квадрате употреб­ляются греческие буквы (отсюда название греко-латинский квадрат).

Таблица 5.9

Из всего множества латинских квадратов 4×4 суще­ствуют только три ортогональных квадрата (цифрами ука­заны упорядоченные уровни факторов, расположенных в ячейках квадрата):

Так, наложив квадрат I на квадрат III, получим греко­-латинский квадрат 4×, представленный в табл. 5.9.

Методы построения греко-латинских квадратов разнооб­разны. Некоторые из них отличаются простотой, но не явля­ются общими и не позволяют получить полного множества греко-латинских квадратов. Так, если число уровней N яв­ляется простым нечетным числом, то можно воспользоваться следующей процедурой для построения пары ортогональных квадратов [18]: первый квадрат получается с помощью од­ношаговой циклической перестановки справа налево, вто­рой — слева направо. Проделаем такую процедуру для N = 5. Записываем в первую строку для одного квадрата пять латинских букв, а для другого — греческих, записанных в алфавитном порядке. Для первого квадрата вторую строку табл. 5.10 образуем с помощью одношаговой циклической перестановки, передвигая последнюю букву (E) на первое место (в первый столбец), а все остальные сдвигая на одну позицию направо. Аналогичную процедуру проделывают для остальных строк соответственно. Для второго квадрата за­писываем в первой строке в алфавитном порядке пять греческих букв. Во второй строке первую букву ставим на последнее место, все остальные сдвигаем на одну позицию налево. Аналогично поступаем с остальными строками табл. 5.10.

Таблица 5.10

Методы построения полного множества ортогональных латинских квадратов для любого N приведены в [18]. Одна­ко построение греко-латинского квадрата не всегда ока­зывается возможным, как, например, для случая N = 2 или N = 6.

Дисперсионный анализ для плана типа греко-латинский квадрат совершенно аналогичен ранее рассмотренному ана­лизу для плана типа латинский квадрат. Отличие состоит лишь в том, что необходимо еще вычислять сумму квадра­тов для четвертого фактора . Кроме того, число степеней свободы остаточной суммы квадратов уменьшается на (N — 1). Поэтому при N = 3 число степеней свободы для остаточ­ной суммы квадратов равно нулю и греко-латинские квад­раты 3×3 для автономных исследований строить не имеет смысла.