Глава 3 активный эксперимент. Ортогональные планы первого порядка

Активный эксперимент, в отличие от пассивного, заклю­чается не в простом фиксировании входных и выходных величин с последующей их статистической обработкой, а в активном вмешательстве в течение процесса или актив ном воздействии на объект по заранее выбранному плану. План эксперимента предусматривает условие и число про­ведения опытов и, главным образом, определяет точность полученной в результате эксперимента математической модели. Математическая модель получается на основании проведения регрессионного анализа.

Для реализации активного эксперимента необходимо выполнять следующие условия:

результаты наблюдений , ,..., должны пред­ставлять собой независимые, нормально распределенные случайные величины;

случайные помехи ε_i на выходе объекта в каждом i-ом опыте должны быть независимыми друг от друга, а также от значения входных переменных х_j и коэффициентов урав­нения регрессии ;

дисперсии наблюдения выходной величины должны быть равны друг другу (выборочные оценки S² { } одно­родны) или, другими словами, если производить многократ­ные повторные наблюдения над величиной y_i при некотором определенном наборе значений х_i1, х_i2, ..., х_in, то ди­сперсия σ² {y_i} не должна отличаться от дисперсии σ² {у_k}, полученной при повторных наблюдениях для любого дру­гого набора значений независимых переменных х_k1, х_k2, ..., х_kn;

независимые переменные х₁, х₂, ..., х_п должны измеряться с пренебрежимо малой погрешностью по сравнению в определении у.

Данные условия предполагают, что между входными и выходной величинами существует функциональная связь и целью эксперимента является определение оценок пара­метров, которые будут отличаться от их математического ожидания из-за наличия погрешностей измерения выход­ной величины или же из-за влияния неучтенных неуправ­ляемых факторов.

1. Полный факторный эксперимент

В факторных экспериментах в отличие от классических происходит одновременное варьирование всеми незави­симыми переменными. Эксперимент, в результате которого все независимые переменные варьируются на всех выбран­ных уровнях, называется полным факторным экспериментом (ПФЭ). Количество опытов при ПФЭ подсчитывается так [2]:

,

где k — количество уровней, п — число факторов.

Если эксперименты проводятся только на двух уровнях (при двух значениях факторов) и в эксперименте осуществ­ляются все возможные комбинации из п факторов, то по­становка опытов по такому плану носит название полного факторного эксперимента типа 2ⁿ.

Ввиду того что факторы различны по физической при­роде и изменяются в различных динамических диапазонах, для дальнейшей формализации процесса анализа и неза­висимости полученных результатов от изменения масшта­ба входных величин факторы предварительно кодируют. Для этой цели используют соотношение

(3.1)

где X_jср = (X_jmах + X_jmin)/2; X_jmax; X_jmin - гранич­ные значения варьирования независимыми переменными, которые или заданы или выбираются экспериментатором самостоятельно на основании априорной информации об объекте.

Таким образом, операция кодирования независимых переменных заключается в переносе центра координат в точку X_jcp, называемую в дальнейшем центром плана эксперимента.

В кодированной системе на основании выражения (3.1) будут соблюдаться соответствия:

В дальнейшем будут использоваться кодированные пере­менные.

В случае парной зависимости для определения линии регрессии достаточно провести два опыта при граничных значениях фактора х₁, т.е. план эксперимента имеет вид . Если число входных величин две — х₁ и х₂, т.е. реализуется двухфакторный эксперимент, то для построения матрицы плана полного факторного экс­перимента, позволяющего оценить коэффициенты модели , необходимо пользоваться следую­щим правилом: при добавлении нового фактора каждая комбинация уровней исходного плана встречается два­жды — в сочетании с нижним (-1) и верхним (+1) уровнями нового фактора. Иными словами, матрицу исходного плана (однофакторного эксперимента) необходимо повторить дважды — при нижнем уровне (х₂ = -1) и верхнем уров­не (х₂ = +1) добавленного фактора. Исходя из этого пра­вила можно построить и матрицу плана и трехфакторного эксперимента. В табл. 3.1 показано поэтапное построение матриц плана по мере увеличения числа факторов в мо­дели. Если рассмотреть матрицу пла­на двухфакторного эксперимента, по­строенную по изложенному выше правилу, то видно, что в ней присут­ствуют все N = 2² = 4 сочетания фак­торов х₁ и х₂: «—» и «—»; «+» и «—»; «—» и «+»; «+» и «+». Геометричес­ки план такого эксперимента интер­претируется точками, расположенными в вершинах квадрата (рис. 3.1).

Рис. 3.1. Расположение точек при ПФЭ 2ⁿ в факторной области

Построенная таким образом матрица обладает рядом ценных свойств:

1. ортогональности, которое обеспечивает независимость оценок коэффициентов модели

,

где j, k = — номера вектор-столбцов соответствую­щих факторов; i — текущая точка факторного простран­ства, в которой производится эксперимент; иными словами, данное свойство можно сформулировать так: скалярное произведение вектор-столбцов матрицы планирования рав­но нулю;

2. симметричности, которое обеспечивает независимость свободного члена

,

т.е. сумма элементов вектор-столбцов х_j равна нулю, точ­ки, в которых проводятся опыты, расположены симметрич­но по отношению к центру плана;

Таблица 3.1

№ n/n	x1	x2	x3	№ n/n	x1	x2	x3
1	-1	-1	-1	5	-1	-1	+1
2	+1	-1	-1	6	+1	-1	+1
3	-1	+1	-1	7	-1	+1	+1
4	+1	+1	-1	8	+1	+1	+1

2. нормировки, обеспечивающее одинаковую дисперсию оценки коэффициентов,

;

последнее равенство вытекает из того, что кодированные факторы принимают только значение ±1.

Рассмотрим следующую математическую модель:

N	x1	x2	x3
1	-1	-1	y1
2	+1	-1	y2
3	-1	+1	y3
4	+1	+1	y4

Коэффициенты а₀, а₁, а₂, а₁₂ определим с помощью метода наименьших квадратов, т.е.:

Получаем следующую систему уравнений:

Перепишем систему

Используя свойства симметричности, ортогональности и нормировки, упростим систему и получим формулы для определения коэффициентов а₀, а₁, а₂, а₁₂:

Найденные таким образом оценки коэффициентов мо­дели показывают степень влияния факторов и их взаимо­действия на выходную величину. Если перед коэффици­ентом стоит знак плюс, то с увеличением данного фактора выходная величина увеличивается, а если стоит знак минус, то наоборот.

Регрессионный анализ исходит из предпосылки о слу­чайности погрешностей, которые накладываются на вход­ные и выходные величины. Однако, если проводить опыты в том порядке, в каком следуют строки матрицы планирова­ния, построенной в соответствии с правилом (тем более для случая проведения серии параллельных опытов в каждой точке факторного пространства), то чем больший порядковый номер фактора, тем при большем числе опытов его уровень не изменяется. Для самого «старшего» фактора п его уровень остается неизменным (зафиксированным) в течение N/2 опытов. При этом реализация случайной погрешности задания факторов будет зафиксирована и становится систематической.

Таким образом, в течение большого числа опытов фак­тор, например х_п, будет задан с систематической погреш­ностью, что приведет к смещению оценок коэффициентов. Известно, что случайность величины проявляется во мно­жестве ее выборок. Поэтому, чтобы оставить только слу­чайную погрешность в установке уровней факторов с нулевым математическим ожиданием, все опыты осуществ­ляют в случайном порядке — производят рандомизацию эксперимента. Рандомизация заключается в проведении опытов в случайном порядке. В заключение следует заметить, что возможны случаи, когда рандомизацию осу­ществить нельзя. Это бывает в тех случаях, когда после­довательность условий проведения опытов является определенным параметром. Например, испытание катушки индуктивности с железным сердечником, когда форма пет­ли гистерезиса зависит от предыдущей рабочей точки.