1.2. Погрешность округленного числа
Пример 1.9.
Округляя число х = 1,1426 до четырех значащих цифр, определить абсолютную и относительную погрешности полученных приближений. Цифры верны в широком смысле.
Решение.
Округлим число х до четырех значащих цифр: х1 = 1,143.
По определению верной цифры в широком смысле абсолютная погрешность ех = 0,0001.
Погрешность округленного числа равна сумме погрешности исходного числа и погрешности округления.
Δокр = │1,143 – 1,1426│ = 0,0004;
ех
= 0,0004 + 0,0001 = 0,0005;
δх
=
=
= 0,000437 < 0,04 %.
Пример 1.10.
Число х, все цифры которого верны в строгом смысле, округлить до трех значащих цифр. Для полученного результата х1 вычислить границы абсолютной и относительной погрешностей. В записи числа х1 указать количество верных цифр по абсолютной и относительной погрешностям х = 1,1426.
Решение примера 1.10. представлено на рис. 1.2.
Рис. 1.2. Фрагмент рабочего документа к выполнению примера 1.10
Пример 1.11.
Со сколькими верными в строгом смысле десятичными знаками после запятой нужно взять:
а)
;
б) sin(0.9);
в)
;
г) ln(1.25), чтобы относительная погрешность не превышала 0,1%.
Решение.
а) = 4,3931765.
Относительная погрешность δх ≤ 0,001 = 10-3. Значит, число , по крайней мере, имеет две верные в строгом смысле цифры.
Δх = 4,3931765 ∙ 10-3 = 0,00439 < 0,005. Следовательно, цифры 4 и 3 действительно верны в строгом смысле, поэтому правильный ответ ≈ 4,39.
б) sin(0.9) = 0.7833269.
Относительная погрешность δх ≤ 0,001 = 10-3. Значит, число sin(0.9), по крайней мере, имеет две верные в строгом смысле цифры.
Δх = 0,7833269 ∙ 10-3 = 0,000733 >0,0005. Следовательно, цифры 5, 7 и 3 действительно верны в строгом смысле, поэтому правильный ответ sin(0,9) = 0,783
в) = 0,0571429.
Относительная погрешность δх ≤ 0,001 = 10-3. Значит, число , по крайней мере, имеет две верные в строгом смысле цифры.
Δх = 0,0571429 ∙ 10-3 = 0,000057 > 0,00005. Следовательно, цифры 5 и 7 действительно верны в строгом смысле, поэтому правильный ответ = 0,057.
г) ln(1.25) = 0,223144.
Относительная погрешность δх ≤ 0,001 = 10-3. Значит, число ) ln(1.25), по крайней мере, имеет две верные в строгом смысле цифры.
Δх = 0,223144 ∙ 10-3 = 0,00022 < 0,0005. Следовательно, цифры 2, 2, 3, 1 действительно верны в строгом смысле, поэтому правильный ответ ln(1.25) = 0,2231.
1.3. Погрешности арифметических действий
Пример 1.12.
Найти сумму приближенных чисел, абсолютные погрешности которых даны. В ответе сохранить верные цифры и одну сомнительную.
х = 7,12 ± 0,01, у = 8,27 ± 0,01.
Решение.
Найдем сумму данных чисел х + у = 7,12 + 8,27 = 15,39.
Для определения количества верных цифр найдем абсолютную погрешность суммы ех+у = 0,01 + 0,01 = 0,02. Данное число показывает, что в числе 15,39 верными будут цифры до разряда десятых, т. е. цифры 1, 5 и 3. И т. к. мы отбрасываем число 9, большее пяти, то результат сложения будет 15,4.
По относительной погрешности можно получить более строгую оценку количества верных цифр:
δх+у
=
∙ 0,0014 +
∙ 0,0012 = 0,0012 < 0,5 ∙ 10-2.
То есть в числе 15,39 цифры 1, 5 верны в строгом смысле.
Ответ: 15.
Пример 1.13.
Найти разность чисел, цифры которых верны в строгом смысле. В ответе сохранить верные цифры и одну сомнительную.
х = 13,876, у = 11,82.
Решение.
Так как цифры данных чисел верны в строгом смысле, то их абсолютные погрешности не превосходят единицы разряда, в котором записана последняя верная цифра. Поэтому ех = 0,0005, еу = 0,005.
Относительная погрешность чисел х и у соответственно равна:
δх
=
= 0,00004;
δу
=
= 0,0004.
Найдем разность чисел х – у = 13,876 – 11,82 = 2,056.
Найдем абсолютную погрешность полученной разности. Она будет равна
ех-у = 0,0005 + 0,005 = 0,0055 < 0,05.
То есть в числе 2,056 цифры 2 и 0 верны в строгом смысле.
Найдем относительную погрешность разности. Она будет равна
δх-у
=
∙ 0,00004 +
∙ 0,0004 = 0,0025 ≤ 0,5 ∙ 10-2.
Действительно, две первые цифры верны в числе 2,056.
Ответ: 2,06.