3. Критерии принятия решения при известных вероятностях состояний природы (Байеса, Лапласа)

Критерии принятия оптимальных управленческих решений в статистических играх формулируются на основе здравого смысла, интуиции и практической целесообразности. Они помогают оценить принимаемое решение с различных позиций и избежать ошибок в экономической ситуации.

Существуют две группы критериев – использующие и не использующие априорные вероятности состояний природы.

Если вероятности состояний природы известны, то для нахождения оптимального управленческого решения ЛПР применяют критерии Байеса и Лапласа, которые используют понятие среднего значения выигрыша и среднего значения риска статистика.

Применяют следующие варианты выбора наилучших решений:

1. Известны вероятности состояния внешней среды. Тогда лучим решением является то, при котором среднее ожидаемое значение выигрыша максимально. Оно определяется как сумма произведений выигрышей на соответствующие вероятности различных вариантов.

2. Вероятности возможных поведений внешней среды неизвестны, но имеются сведения об их относительных величинах. В этом случае делается допущение об одинаковой вероятности появления различных событий, и поступают, как в первом варианте, либо вероятности наступления событий устанавливают на основе оценок экспертов.

В зависимости от этого, последствия решений можно оценить через систему критериев, предусматривающих различную степень риска.

3.1. Критерий Байеса (максимизации среднего выигрыша)

• Показатель оптимальности стратегии - величина среднего выигрыша.

За оптимальную стратегию принимается чистая стратегия , при которой максимизируется средний выигрыш статистика

. (4)

• Показатель оптимальности стратегии - величина среднего риска.

За оптимальную стратегию принимается чистая стратегия , при которой минимизируется средний риск

. (5)

Байесовское решение является оптимальным не в каждом отдельном случае, а в среднем. Такого рода оптимальность реально может проявить себя лишь при многократном проведении операции, когда среднее значение постепенно стабилизируется.

Применение критерия Байеса оправданно, если ситуация, в которой принимается решение, характеризуется признаками:

• вероятности состояний природы известны и не зависят от времени;

• решение реализуется большое (теоретически бесконечное) число раз.

Пример 2. Фирма купила станок за 100 ден. ед. Для его ремонта можно купить специальное оборудование за 50 ед. или обойтись старым оборудованием. Если станок выходит из строя, его ремонт с помощью спецоборудования обходится в 10 ед., без спецоборудования - в 40 ед.

Известно, что в течение срока эксплуатации станок выходит из строя не более трех раз: вероятность того, что станок не сломается - 0,3; сломается 1 раз - 0,4; сломается 2 раза - 0,2; сломается 3 раза - 0,1.

Требуется определить целесообразность приобретения специализированного ремонтного оборудования.

Формализация. Первый игрок имеет две чистые стратегии: покупать и не покупать специализированное ремонтное оборудование. У природы - второго игрока - четыре состояния: станок не выйдет из строя, выйдет один раз, сломается два раза и три раза. Функция выигрыша - затраты фирмы на покупку и ремонт станка, задается платежной матрицей:

	Выход станка из строя
Ремонтное оборудование	ни разу	1 раз	2 раза	3 раза
не купить	-100	-140	-180	-220
купить	-150	-160	-170	-180

Решение.

Рассмотрим сначала эту задачу как антагонистическую игру.

В матрице методом минимакса находим седловую точку: (2,4), таким образом, x* = ( 0, 1 ), y* = ( 0, 0, 0, 1 ), цена игры v* = - 180 ден. ед.

Ответ: нужно купить специализированное оборудование.

Однако в играх с природой положение коренным образом меняется: уже в условии заложена устойчивая смешанная стратегия природы: у = (0,3; 0,4; 0,2; 0,1) и мы знаем, что именно этой стратегии придерживается природа. Запишем эти вероятности внизу платежной матрицы.

	Выход станка из строя
Ремонтное оборудование	ни разу	1 раз	2 раза	3 раза
не купить	-100	-140	-180	-220
купить	-150	-160	-170	-180

Вероятности 0,3 0,4 0,2 0,1

Если же человек - первый игрок - будет продолжать играть оптимально (применит вторую стратегию «купить»), то его выигрыш составит

v(x*) = - 150 0,3 - 160 0,4 - 170 0,2 - 180 0,1 = - 161;

а если применит первую, неоптимальную стратегию, то математическое ожидание его выигрыша составит

v(x') = - 100 0,3 - 140 0,4 - 180 0,2 - 220 0,1 = - 144 .

Таким образом, первому игроку выгодно играть неоптимально!

Ответ: не покупать специализированное оборудование.

Существенное различие между значениями v(x*) и v(x') объясняется тем, что смешанная стратегия природы неоптимальна и она, "отклоняясь" от своей оптимальной стратегии, «недополучает» 36 ден. единиц выигрыша.