3.8. Будущая стоимость аннуитета

Будущую стоимость аннуитета можно определить как стоимость потока платежей с начисленными процентами на конец срока проведения операции при условии, что величина каждого платежа является одинаковой.

Cимвол функции - F_VA. Используем таблицы типа А (Прил. 1, табл. А-4), типа Б (Прил.2, колонка №2). Будущую стоимость потока платежей определяют по формуле:

F_VA. (16)

где St – сумма платежа в году. Так как сумма ежегодных платежей одинакова, то умножив обе части уравнения (3.13) на (1+i ) и вычтя полученный результат из уравнения (3.13), получим:

F_VA. (17)

где коэффициент наращения аннуитета. Обозначим его через k _н.ан.

Данная функция позволяет рассчитать величину накопленных равновеликих взносов при заданной ставке дохода.

Пример 21. Финансовая компания создаёт фонд для погашения своих обязательств. Какая сумма будет накоплена на счёте компании в банке, если она в течение 4 лет будет ежегодно вносить в банк по 350 тыс. руб. под 6% годовых.

I. Используем таблицы типа А.

1.В таблице А-4 (Прил. 1) на пересечении колонки 6% и строки 4-го периода находим фактор 4,3746.

2. Рассчитаем величину накопления:

F_VA. = 350*4,3746 = 1531 тыс. руб.

II. Используем таблицы типа Б (Прил.2).

1. Определим фактор будущей стоимости аннуитета 4-го периода при ставке 6% годовых (колонка №2). Он составляет 4,3746.

2. Рассчитаем величину накопления:

F_VA. =350*4,3746 = 1531 тыс. руб.

Таким образом, депонирование 1400 тыс. руб. (350*4) обеспечивает компании накопление в сумме 1531 тыс. руб. Разница в 131 тыс. руб. представляет величину процентов, начисленных на возрастающую сумму вклада по технике сложного процента.

Как отмечалось ранее, платежи могут осуществляться m-раз в году (ежемесячно, ежеквартально). Если число платежей в году совпадает с числом начислений процентов, то общее число платежей за n летбудет равно m*n, процентная ставка –i/ m, а величина платежа - S/m. Тогда формула для определения будущей стоимости аннуитета будет выглядеть следующим образом:

F_VA. = S* (18)

3.9. Периодический взнос в фонд накопления

Данная функция используется, когда нам известна будущая стоимость, которую мы должны накопить к концу какого-либо периода, осуществляя взносы равными долями, при условии, что они инвестируются по определённой процентной ставке. Нам надо найти величину этих равных взносов.

Символ функции - P_MT /F_VA. Используются таблицы: первого типа А ( Прил. 1, табл.А-4, фактор используется как делитель); типа Б (Прил. 2,колонка №3). Таким образом, функция позволяет рассчитать величину периодически депонируемой суммы, необходимой для накопления нужной стоимости при заданной ставке процента. Формула нахождения аннуитета, если известны его будущая стоимость, число периодов депонирования и ставка процента:

S= F_VA (19)

где – коэффициент (фактор) фонда возмещения – коэффициент, обратный коэффициенту наращения аннуитета. Обозначим его k _ф.возм.

Пример 22. Какую сумму следует 5 раз внести на пополняемый депозит под 8% годовых, чтобы накопить сумму в 1700 тыс. руб., необходимую для погашения облигаций?

I. Используем таблицы типа А.

1. В таблице А-4 на пересечении колонки 8% и строки 5-го периода находим фактор 5,8666.

2. Рассчитаем величину депозита:

1700  1/5,8666 = 290 тыс. руб.

II. Используем таблицы типа Б.

1. Определим фактор периодического пятикратного взноса при ставке 8% годовых (Прил. 2, колонка №3). Он составляет 0,1705.

2. Рассчитаем величину депозита:

P_MT /F_VA = 1700  0,1705= 290 тыс. руб.

Т.е. фактически компания отдаст 1450 тыс.руб. (290*5), а 250 тыс руб. являются накопленным доходом на постоянно увеличивающийся остаток вклада. Функция «периодический взнос на накопление фонда» является обратной по отношению к функции «будущая стоимость аннуитета».