Тема 11. Первісна. Невизначений інтеграл.
1. Означення первісної.
Функція
називається первісною
для функції
на заданому проміжну, якщо для всіх
із цього проміжку виконується рівність
2. Основна властивість первісної
Якщо
первісна для функції
на заданому проміжку, то функція
має безліч первісних, і всіх їх можна
задати формулою
,
де
довільне число.
Наприклад,
для функції
первісними є функції
,
або
,або
і взагалі
,
де
довільне число
Оскільки
,
або
3. Геометричний зміст первісних
Г
рафіки
будь-яких первісних для даної функції
одержуються один з одного паралельним
перенесенням уздовж осі 0у
4. Означення невизначеного інтегралу
Сукупність усіх первісних для функції називають невизначеним інтегралом функції і позначають
,
де
підінтегральна
функція
підінтегральний
вираз
одна з первісних для функції
довільне число
-1
5. Основні правила інтегрування
1.
;
2.
;
3.
Приклади . Знайти загальний вигляд первісної для функцій :
1)
;
;
2)
;
Зверніть увагу!
3)
;
;
4)
;
;
5)
;
;
;
6)
;
.
2.
Для функції
знайдіть первісну
,
що набуває заданого значення :
1)
За
умовою
,
тобто
Тобто
2)
За
умовою
тобто
Тобто
3.
Для функції
знайдіть первісну, графік якої проходить
через точку M(1;0)
За умовою
0
Тобто
.
4. Знайти інтеграл :
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
;
9)
.
Вправи для самостійного розв’язування до теми 11:
1.
Знайдіть
загальний вигляд первісної для
1)
2
7)
;
2)
; 8)
;
3)
; 9)
;
4)
; 10)
;
5)
; 11)
;
6)
; 12)
.
2.
Для
функції
знайдіть первісну , графік якої проходить
через точку
.
3. Для функції знайдіть первісну , що набуває заданого значення в зазначеній точці
1)
,
.
2)
,
3)
,
.
4. Знайдіть невизначений інтеграл :
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
9)
;
10)
;
11)
;
12)
;
13)
;
14)
;
15)
;
16)
;
17)
;
18)
;
19)
;
20)
;
21)
;
22)
.