Основные понятия и законы динамики

Динамика – это раздел механики, в котором изучают движение тел под действием приложенных к ним сил.

В биомеханике также рассматривают взаимодействие между телом человека и внешним окружением, между звеньями тела, между двумя людьми (например, в единоборствах). В результате возникают силы, которые и являются количественной мерой этих взаимодействий.

При изучении величин, которые характеризуются не только величиной, но и направлением (например, скорость, ускорение, сила и т. п.) применяют их векторное изображение.

Вектор – направленный прямолинейный отрезок (стрелка) рис. 1.

Два вектора считаются равными лишь в том случае, если у них одинаковы и длины и направления (то есть они параллельны и ориентированы в одну сторону). С изменением ориентации меняется знак вектора ( на рис.1 b = а; с = - а).

Правила векторной алгебры отражают физические свойства векторных величин. Так в соответствии с тем, что равнодействующая двух сил находится по правилу параллелограмма, суммой двух векторов (a и b), определяется новый вектор (с = а + b), изображаемый диагональю параллелограмма, стороны которого – векторы-слагаемые, рис. 2.

Вычитание определяется как действие, обратное сложению. Кроме вектора в биомеханике используется ещё и термин, носящий название «скаляр» (скалярные величины). 

Скаляр – величина, каждое значение которой ( в отличие от вектора) может быть выражено одним числом, вследствие чего совокупность значений можно изобразить на линейной шкале (скале – отсюда и название). Скалярными величинами являются: длина, площадь, температура и т. д.

Скалярным произведением (а۰b) двух векторов (а и b) называется число (скаляр), равное произведению длин этих векторов, на косинус угла, образованных их направлениями, то есть |а| ۰ |b| ۰ cos φ, см. рис. 3.

Прямая, вдоль которой направлена сила, называется линия действия силы. Сила полностью определена, если заданы её величина, направление и точка приложения. Если на элементы биомеханической системы тела человека действует несколько сил (F1, F2, ...Fn), то их можно заменить одной силой, равной их векторной сумме: FR = Σ Fi. Такая сила называется равнодействующей.

Например, на прыгуна в длину действует сила тяжести (mg) и сила сопротивления воздуха (Fс), рис. 4. Ускорение (отрицательное) создаёт их равнодействующая сила (Fр).

Движения биомеханической системы тела человека подчиняются механике Ньютона. Следовательно, три основных закона этой механики определяют характер движения, так как несмотря на биологическую природу энергообеспечения движения, тело является механической системой и подчиняется всем закономерностям, которые связаны с движением материальных объектов на Земле.

Первый закон Ньютона (закон инерции). Любое материальное тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока внешнее воздействие не изменит это состояние.

Прямолинейное равномерное движение материального тела называется инерциональным (или движением по инерции). Инерция – это свойство материального тела оказывать сопротивление изменению скорости его движения (как по величине, так и по направлению). Инертность – неотъемлемое свойство материи. Такое сопротивление возможно только потому, что тела обладают определённой массой, которую считают количественной мерой инертности.

Масса – количественная мера инертности тела. Единица измерения массы в СИ называется килограмм (кг).

Первый закон Ньютона – достаточно идеализированное представление о движении, поскольку тело может двигаться прямолинейно и равномерно только в отсутствии любых сил. В реальности на двигающееся тело всегда оказывают влияние различные силы (силы сопротивления воздуха, силы трения и др.), чьё воздействие приводит к тому, что движущееся тело в конце концов останавливается. Это не означает, что первый закон Ньютона неверен: просто движение, если действие сил не исключить, приводит к изменению состояния тела и, в частности, к его переходу в состояние покоя. 

Векторная величина, равная произведению массы тела на ускорение и направленная в сторону, противоположную ускорению по величине или направлению данного тела под воздействием внешних сил, называется силой инерции: Fи = - m•aс.

Изменение скорости тела обусловлено воздействием на него других тел. Воздействие тем интенсивнее, чем больше созданное им ускорение. С другой стороны, у тела с большей массой ускорение меньше (то есть, его скорость изменить труднее). Поэтому измерять воздействие на тело со стороны всех других тел принято произведением массы тела на сообщённое ему ускорение. Эту меру воздействия называют силой.

Силой, действующей на тело со стороны других тел, называется векторная величина, равная произведению массы тела на его ускорение.

Единица измерения в СИ называется «ньютон» - Н.

Если формулу F = m • a преобразовать:

,

то получим второй закон Ньютона.

Второй закон Ньютона. Ускорение, с которым движется тело, прямо пропорционально действующей на него силе, обратно пропорционально массе тела и по направлению совпадает с направлением действия силы

Соотношение между равнодействующей всех внешних сил и ускорением, которое она сообщает ему, можно преобразовать к виду, который оказывается полезным при решении многих задач в биомеханике:

     

Выражение в левой части уравнения называется импульсом силы, в правой части уравнения – называется импульсом тела.

Импульсом тела или количеством движения (Р) называется произведение массы (m) на скорость движения тела (V):

, Размерность в СИ – кг•м/с

Импульсом силы называется произведение значения силы на промежуток времени, в течение которого она действовала на материальное тело.

На основе приведённых определений можно представить в следующей словесной формулировке: изменение количества движения материального тела равно импульсу силы:

Третий закон Ньютона. Силы, с которыми материальные тела действуют друг на друга, равны по величине, противоположны по направлению и направлены по прямой, проходящей через эти тела.

F1 = - F2

Этот закон показывает, что взаимодействие – это действие одного тела на второе и равное ему действие второго тела на первое. Следовательно, источником силы для первого тела является второе, и поскольку силы действия и противодействия приложены к разным телам, их нельзя складывать, а действующие силы – заменять равнодействующей.

Человек, совершая двигательные действия, участвует в сложном движении, которое состоит из более простых – поступательного и вращательного. Для каждого из них существуют отличающиеся друг от друга характеристики.

СИЛЫ ИНЕРЦИИ

Силы инерции — силы, обусловленные ускоренным движением неинерциальной системы отсчета (НСО) относительно инерциальной системы отсчета (ИСО). Основной закон динамики для неинерциальных систем отсчета:  , где   — сила, действующая на тело со стороны других тел;

  — сила инерции, действующая на тело относительно поступательно движущейся НСО.   — ускорение НСО относительно ИСО. Она появляется, например, в самолете при разгоне на взлетной полосе;

  — центробежная сила инерции, действующая на тело относительно вращающейся НСО.   — угловая скорость НСО относительно ИСО,   — расстояние от тела до центра вращения;

  — кориолисова сила инерции, действующая на тело, движущееся со скоростью   относительно вращающейся НСО.    — угловая скорость НСО относительно ИСО (вектор направлен вдоль оси вращения в соответствии с правилом правого винта).

ВЫВОД ФОРМУЛЫ СИЛЫ КОРИОЛИСА

Пусть, материальная точка, движущаяся относительно вращающейся системы отсчета (ВСО) по прямой, проходящей через ось вращения, переместилась из точки A в точку B.  — скорость материальной точки относительно ВСО. Изменение относительной скорости движения материальной точки после перемещения: . Переносные скорости материальной точки в точках A и B: , . Составляющие перемещения материальной точки: , . Изменение абсолютной (относительно ИСО) скорости материальной точки: , , , ,  . Ускорение материальной точки относительно ИСО: . Сила инерции направлена в сторону противоположную ускорению и равна по величине силе, вызывающей ускоренное движение материальной точки относительно ИСО: , где   — центробежная сила инерции;  — кориолисова сила инерции (сила Кориолиса). Выражение для силы инерции не изменится, если материальная точка будет двигаться перпендикулярно прямой, проходящей через ось вращения — убедитесь самостоятельно!

Метод кинетостатики.

В технических задачах, не связанных с необходимостью интегрирования дифференциальных уравнений движения материальных объектов, иногда удобно пользоваться так называемым методом кинетостатики. Этот метод наиболее употребителен в случаях, когда требуется в постановке прямой задачи динамики определить неизвестную часть сил (как правило, силы реакции), участвующих в движении материального объекта.

Метод кинетостатики позволяет решать задачи динамики (неравномерного движения) методом статики. Для этой цели инерционные члены, стоящие в левой части дифференциальных уравнений переносятся в правую часть и их рассматривают как условные силы или условные моменты. Метод кинетостатики в своей основе предложил Даламбер и эти условные силы и условные моменты называют:

- силами инерции Даламбера 

- моментами сил инерции Даламбера 

Рассмотрим применение метода кинетостатики (принципа Даламбера) для материальной точки и механической системы.

§ 1. Метод кинетостатики для материальной точки.

Пусть несвободная материальная точка с массой m под действием задаваемых сил и сил реакций связей движется с некоторым ускорением  .

Следовательно можно записать: 

П еренесём инерционный член  в правую часть. Получим:

Обозначим  ; таким образом (1)

Уравнение (1) по своему характеру является уравнением равновесия сил и может быть решено методами статики. Замечаем, что условно введённая сила инерции направлена по линии ускорения в противоположную сторону.

Сформулируем метод кинетостатики для материальной точки:

При неравномерном движении материальной точки в каждый момент времени геометрическая сумма задаваемых сил, сил реакции связей и силы инерции, условно приложенной к точке, взаимно уравновешена(равна нулю).

Обычно векторное уравнение (1) записывают в проекциях на оси координат, например:

§ 2. Метод кинетостатики для твёрдых тел и механической системы.

а) При поступательном движении твёрдого тела

Как известно, поступательное движение тела описывается одним векторным уравнением, полученным на основе теоремы о движении центра масс:

Выполним переход Даламбера, обозначив 

Таким образом:

(2)

Или в проекциях на оси координат:

Получим: При неравномерном поступательном движении тела в каждый момент времени геометрическая сумма внешних сил, сил реакции связей и силы инерции, условно приложенной в центре масс, взаимно уравновешена.

б) При вращательном движении твёрдого тела.

Ра ссмотрим наиболее общий случай

неравномерного вращения тела относительно неподвижной оси Z, не проходящей через центр тяжести. Пусть вращение характеризуется величинами _zи_z; расстояние между точками О и С равно d.

В нашем случае дифференциальные уравнения тела запишутся:

Примечание1. В общем случае при вращении относительно нецентральной оси Z уравнения движения запишутся:

Выше было показано, что уравнение(2) эквивалентно уравнению

I_z= (2’)

Выполним переход Даламбера, обозначив:

Таким образом:

(3)

Получили: В любой момент времени:

- геометрическая сумма внешних сил, сил реакции связей и силы инерции, условно приложенной к центру масс вращающегося тела, уравновешивается;

- геометрическая сумма моментов внешних сил, моментов сил реакции связей и момента от силы инерции, условно приложенной к телу, относительно оси вращения, уравновешивается.

При использовании метода кинетостатики для вращательного движения тела векторное уравнение сил целесообразно записывать в естественных осях:

,где 

,где 

Поскольку момент от сил инерции относительно оси Z создается только касательной составляющей, то можно указать точку её приложения на линии О d:

Ф_* ОЦ= или m _zd ОЦ=I_z _z

откуда ОЦ=

Легко заметить, что при вращении тела относительно оси Z, проходящей через центр тяжести тела(точку С) силы инерции в уравнение кинетостатики не войдут, так как d=0. При равномерном движении тела( _z=0) в уравнения кинетостатики не войдёт момент от сил инерции.

в) При плоском движении твёрдого тела.

При плоском движении твёрдого тела его дифференциальные уравнения имеют вид:

Выполняя переход Даламбера, обозначив  и будем иметь:

(4)

В проекциях на оси координат система (4) запишется:

В заключение отметим, что в самом общем случае движения твёрдого тела и вообще механической системы в пространстве, заданном осями XYZ уравнения кинетостатики имеют вид:

(4)

Если в системе уравнений (4) отбросить силы инерции и моменты от сил инерции, то получим обычные уравнения статики для пространственной системы сил. Найденные реакции в этом случае называются статическими реакциями. Если наоборот отбросить действующие силы и их моменты и определить реакции только от инерционных слагаемых, то получим динамические реакции. Решения системы (4) в полном объёме позволяют вычислять полные реакции механической системы.