3.7. Главный вектор и главный момент сил давления
Эти характеристики применяются при интегральной оценке действия сил давления, в частности при рассмотрении взаимодействия жидкости с ограничивающими ее поверхностями и погруженными в нее телами.
Выделим в жидкой
среде произвольную незамкнутую
поверхность S,
площадь которой равна
(рис.3.4). Выделим на этой поверхности
бесконечно малый элемент площадью d,
единичный вектор внешней нормали
которого
.
Пусть на элемент действует нормальное
напряжение p,
cоздаваемое
жидкостью (т.е. не учитывающее давление
на ее свободной поверхности и называемое
давлением
жидкости),
вектор которого, следовательно, равен
(3.28)
Знак минус в правой
части (3.28) взят по той причине, что, как
указывалось в п. 3.2, вектор 
всегда направлен по внутренней нормали
к поверхности, т.е. противоположен по
направлению вектору
.
Сила, действующая на элемент d,
очевидно, будет
(3.29)
Главный вектор
сил давления Р
представляет собой сумму элементарных
сил
взятую
по всей поверхности
.
С учетом (3.29) это будет
3.8. Закон Архимеда
Самостоятельно
3.9. Равновесие погруженного тела
На рис. 3.5. изображено
погруженное в жидкость тело объемом V
и плотностью
;
плотность жидкости пусть будет
.
Выталкивающая сила, действующая на
тело, согласно (3.41), будет
(3.42)
вес тела
(3.43)
а их равнодействующая
(3.44)
или в проекции на
ось Оz
(3.45)
Из (3.44) видно, что вес тела, погруженного в жидкость, уменьшается на величину Р. Из формул (3.44), (3.45) также следуют условия, определяющие поведение тела в жидкости (положительным принято направление силы вниз по вертикали):
тело погружается в жидкость
(3.46)
тело находится в равновесии
(3.47)
тело всплывает
(3.48)
3.10. Давление жидкости на стенку сосуда
Рассмотрим вначале давление жидкости, находящейся в равновесии на боковую стенку сосуда, заключающего эту жидкость. На рис. 3.6 изображена такая стенка М. Выделим около нее плоское сечение S, на
котором построим
цилиндр с осью, перпендикулярной
плоскости S.
Пусть также давление жидкости на уровне
центра тяжести плоскости будет р.
Тогда сила давления жидкости на плоскость
S
будет F=pS;
она будет направлена по внутренней
нормали к плоскости S,
т.е. внутрь цилиндра. Из условия равновесия
следует, что сила давления на правое
основание цилиндра
находящееся на стенке сосуда, будет
равно силе
,
действующей на левое основание цилиндра,
но противоположна ей по направлению:
Согласно третьему закону Ньютона, сила
давления жидкости
на часть стенки
равна силе давления стенки
на жидкость, но противоположна ей по
направлению:
Согласно третьему закону Ньютона, сила
давления жидкости
на часть стенки
равна силе давления стенки
на жидкость, но противоположна по
направлению:
.
Из сказанного следует, что сила давления
жидкости на стенку
Но поскольку давление жидкости р
не зависит от формы боковой стенка
(для тяжелой несжимаемой жидкости оно
зависит лишь от расстояния центра
тяжести площадки S
до свободной поверхности жидкости и ее
плотности – см. (3.31), п. 3.7), не зависит от
формы и давление, оказываемое жидкостью
на стенку.
Рассмотрим теперь давление на дно сосуда, содержащего жидкость. Возьмем несколько сосудов разной формы с одинаковой площадью дна S, заполненных одинаковой жидкостью на одинаковую высоту h (рис. 3.7).
Сила давления
жидкости в каждом из сосудов рис.3.7.
будет одна и та же и, согласно (3.35), равна
где
-
плотность жидкости. В то же время
очевидно, что объем жидкости, а
следовательно, и ее вес в каждом сосуде
будет разный.
Обобщая сказанное о давлении на боковую стенку сосуда и на его дно, можем заключить, что давление жидкости на стенки сосуда не зависит от формы сосуда, содержащего жидкость. Этот закон получил название гидростатического парадокса.