3. Гидростатика

Статикой жидкости, или гидростатикой, называется раздел гидромеханики, изучающей условия и закономерности равновесия жидкостей, а также воздействия покоящихся жидкостей на погруженные в них тела и поверхности, ограничивающие жидкости.

3.1. Условия равновесия жидкости

Чтобы жидкость находилась в равновесии, необходимо, чтобы находились в равновесии каждый ее объем (частица, масса). Иными словами, чтобы система находилась в равновесии, необходимо, чтобы все элементы системы также находились в равновесии.

Рассматривая жидкость (ее произвольный объем) в целом как совокупность составляющих ее частиц, можно заключить, что условием равновесия жидкости является равенство нулю суммы всех внешних сил, приложенных к жидкости, т.е. суммы сил, приложенных ко всем ее частям.

Данное условие является необходимым, но недостаточным. Его выполнение означает, что рассматриваемый объем жидкости (частица, совокупность частиц) не будет совершать поступательного движения. Однако при этом возможно его вращательное движение, вызываемое наличием моментов сил относительно какой либо оси. На рис.3.1 изображен случай, когда к объему жидкостиАприложены в точках О и О₁две равные, нопротивоположно направленные силыF.

Очевидно, что их равнодействующая равна нулю, т.е. объемА не будет совершать поступательного движения. Однако столь же очевидно, что эти силы приведут его во вращательное движение, при этом момент данной пары сил будет равен М = Fr. Вращательного движения не будет, если силы F, сохраняя свое направление, будут действовать вдоль одной прямой. Например, если правая сила F будет перенесена параллельно самой себе в т. О₂. Тогда r = 0, М = 0.

Из изложенного следует второе условие равновесия жидкости: сумма всех моментов внешних сил, приложенных ко всем частицам (массам) жидкости,должна быть равна нулю. Или: результирующая всех внешних сил, приложенных к любой части жидкости, совокупность которых образует рассматриваемый объем жидкости, и результирующий момент этих сил должны быть равны нулю.

3.2. Дифференциальные уравнения равновесия жидкости

Выделим в жидкости прямоугольный параллелепипед со сторонами х, у, z, ориентированными по соответствующим осям координат (рис. 3.2). Пусть к граням этого параллелепипеда приложены напряжения внешних

поверхностных сил, которые, как уже отмечалось, в состоянии покоя имеют лишь нормальные составляющие. При этом, если, например, к площадке 0-1-2-3 приложено напряжение р_х, то к параллельной ей площадке 4-5-6-7, отстоящей от первой на расстоянии х, будет приложено напряжение р_х+ р_х, в общем отличающееся от первого на некоторую величину р_х и направленное так же, как первое, по внутренней нормали к площадке (т.е. внутрь параллелепипеда).^ Аналогично будем иметь пары напряжений р_у и р_у+р_у; p_zи p_z+p_z и (р_у+р_у)хz; p_zxy и (p_z+p_z)xy. Этим напряжениям соответствуют силы и и направленные соответственно друг против друга. Проекции этих сил на оси координат будут

(3.1)

На рассматривемый параллелепипед в общем случае может действовать также объемная сила. Пусть проекции ускорения этой силы на оси координат будутХ,У,Z. Имея в виду, что объемная сила равна произведению ее ускорения на массу и замечая, что _срхуz – масса параллелепипеда, а _ср – средняя плотность жидкости в параллелепипеде, получим следующие выражения для проекции объемной силы на оси координат

(3.2)

Согласно первому условию равновесия жидкости (см. п.3.1), равнодействующая всех внешних сил, приложенных к жидкости, должна быть равна нулю; следовательно, должны быть равны нулю и проекции равнодействующей на оси координат. Поэтому сумма соответствующих строк равенств (3.1) и (3.2) также должна быть равна нулю

(3.3)

Разделив в (3.3) все члены равенств на объем параллелепипеда , получим

(3.4)

Стянем объем параллелепипеда в точкуО. Тогда все приращения в (3.4) примут бесконечно малые значения, отношения приращений станут частнымипроизводными: а средняя плотностьжидкости в параллелепипеде_срстанет плотностью жидкостит.О. Кроме того, все силы, действовавшие ранее на параллелепипед в целом, теперь будут отнесены к т.О. Поскольку положение т.О было выбрано в жидкости произвольно будем иметь следующие уравнения равновесия жидкости, записанные для взятой в жидкости произвольной точки

(3.5)

В предыдущем разделе (см. п.2.9) было показано, что давление в любой точке жидкости в состоянии равновесия передается по всем направлениям одинаково, т.е.

(3.6)

Тогда с учетом (3.6) из (3.5) получаем окончательно дифференциальные уравнения равновесия жидкости, называемые уравнениями Эйлера статики среды:

(3.7)

В уравнениях (3.7) первые слагаемые представляют собой объемные (массовые) силы, отнесенные к единице массы жидкости, вторые слагаемые – поверхностные силы (силы давления), также отнесенные к единице массы жидкости. Соответствующее уравнениям (3.7) векторное уравнение, очевидно, будет

(3.8)

гдеF– вектор объемной силы, отнесенный к единице массы среды (вектор ускорения объемной силы).