2.9. Равенство давлений по направлению

Рассмотрим некоторую призму, выделенную в жидкости и находящуюся в равновесии; поперечное сечение этой призмы представлено на рис. 2.6.а. Торцевые грани призмы перпендикулярны оси призмы и, следовательно, имеют равные площади. Очевидно, в состоянии равновесия призмы равнодействующая всех сил, действующих на призму, должна быть равна нулю. Этими силами являются силы F₁, F₂, F₃, действующие на боковые грани призмы, и силы, действующие на ее торцевые грани; последние равны друг другу по абсолютной величине и противоположны по направлению, они взаимно уничтожаются и поэтому далее не рассматриваются. На рис. 2.6.б построен треугольник сил F₁, F₂, F₃ для условия равновесия (равнодейству-

ющая этих сил равна нулю). Учитывая правило построения треугольника сил^, можем заключить, что треугольник 1-2-3 сечения призмы и треугольник сил подобны. Из подобия треугольников следует, что абсолютные значения действующих на призму сил F₁, F₂, F₃ пропорциональны соответствующим сторонам треугольника 1-2-3, или, что то же, соответствующим граням призмы (длины которых равны). Из этого следует, что отношения соответствующих сторон треугольника 1-2-3 и треугольника сил, или, что то же, площадей граней призмы и действующих на них сил, равны. А так как отношение силы к площади есть напряжение, можно заключить, что абсолютные значения напряжений давления (или просто давления) на всех гранях призмы

равны друг другу. Стягивая треугольник 1-2-3 в точкуА путем параллельного перемещения его сторон, мы тем самым сведем напряжения f₁, f₂, f₃, действующие на сторонах треугольника, в точку. Учитывая равенство напряжений и произвольность ориентации сторон треугольника 1-2-3, можно заключить, что давление в одной и той же точке жидкости передается одинаково во всех направлениях. В этом состоит закон Паскаля.

2.10. Распределение давления в жидкости

Выделим в жидкости горизонтальный цилиндр 1-2 (рис.2.7) с основаниями, перпендикулярными его оси.

Пусть выделенный цилиндр находится в равновесии, что означает перпендикулярность действующих на него сил (сил давления – в случае равновесия) к ограничивающим цилиндр поверхностям (касательные силы при равновесии отсутствуют). Рассмотрим условия равновесия цилиндра вдоль оси (т.е. в горизонтальном направлении). В этом случае сумма проекций всех сил на горизонтальную ось должна быть равна нулю. Силы, действующие на боковую поверхность цилиндра, нормальны к ней и не дают, следовательно, составляющих вдоль горизонтальной оси. Остаются силы, действующие на торцевые поверхности цилиндра. Пусть р₁и р₂ соответственно напряжения давления (давление) на торец 1 и торец 2; s – площадь поперечного сечения цилиндра (площадь торцов). Поскольку плоскости торцов перпендикулярны оси цилиндра, их площади равны. Тогда сила давления на торец 1 будет р₁s, на торец 2 – р₂s. Из условия равновесия р₁,s = p₂s, или р₁₌р₂. Поскольку положение цилиндра в горизонтальной плоскости было выбрано произвольно, можем заключить, что давление во всех точках данной горизонтальной плоскости одинаково. Если жидкость тяжелая (нельзя пренебрегать силой тяжести), давление в горизонтальной плоскости будет зависеть от вертикальной координаты. Иными словами, в тяжелой жидкости давление в любой горизонтальной плоскости одинаково, но изменяется при переходе от одной горизонтальной плоскости к другой. Если же жидкость невесомая (действие силы тяжести отсутствует или им можно пренебречь), давление по вертикали изменяться не будет и, следовательно, в невесомой жидкости давление во всех точках жидкости одинаково.