5.2. Закон сохранения энергии. Уравнение Бернулли

Закон сохранения энергии применительно к движению жидкости рассмотрим для случая отсутствия теплообмена между жидкостью и окружающей средой (адиабатический термодинамический процесс). К таким движениям относятся вентиляционные потоки в шахтах не очень большой глубины, а также во многих выработках глубоких шахтах, где теплообмен между воздухом и горными породами незначительный.

5.2. Закон сохранения энергии. Уравнение Бернулли

Закон сохранения энергии применительно к движению жидкости рассмотрим для случая отсутствия теплообмена между жидкостью и окружающей средой (адиабатический термодинамический процесс). К таким движениям относятся вентиляционные потоки в шахтах не очень большой глубины, а также во многих выработках глубоких шахтах, где теплообмен между воздухом и горными породами незначительный.(стволы, капитальные горные выработки и др.). Для этих условий закон сохранения энергии может быть сформулирован следующим образом: изменение механической энергии выделенного элемента потока в процессе его движения равно работе приложенных к этому элементу внешних сил.

Под механической энергией, как известно, понимается потенциальная и кинетическая энергия движущегося тела. Внешними силами при движении объема жидкости являются силы, происходящие от касательных и нормальных напряжений (поверхностные силы), а также сила тяжести (массовая сила).

Закон сохранения энергии рассмотрим вначале для элементарной струйки тока, а затем распространим его на поток конечных размеров. Жидкость будем считать несжимаемой, реальной, а ее движение установившимся.

Выделим в элементарной струйке тока участок, ограниченный поперечными сечениями 1 и 2 (рис. 5.3). Воздействие окружающей среды на рассматриваемый участок заменим соответствующими поверхностными

Рис.5.3. Схема к выводу уравнения Бернулли

силами. При движении жидкости между сечениями 1 и 2 трубки тока эти силы совершают работу, изменяющую энергию жидкости. Пусть за время dtчерез сечение 1 пройдет некоторый объем жидкости, равный объему между сечениями 1 и иными словами, частицы жидкости, ранее находившиеся в сечении 1, за время переместятся на расстояние и займут положение в сечении . Аналогично частицы из сечения 2 переместятся на расстояние и займут положение в сечении .

Как отмечалось ранее, расход жидкости вдоль трубки тока постоянен (см. п. 4.7). Следовательно, объемы жидкости, заключенные между сечениями 1 и , 2 и одинаковы (перемещения сечений из положения 1 в положение и из положения 2 в положение произошло по принятому выше условию за одно и то же время , тогда объемы между сечениями 1 и , 2 и равны , т.е. одинаковы.Здесь q - расход жидкости в рассматриваемой трубке тока). Поэтому энергетические состояния объемов и можно рассматривать как состояния объема , вначале находившегося у сечения 1, а затем, через время dt, - переместившегося в сечение 2.

Определим работу поверхностных сил (сил давления), приложенных к участку 1-2 трубки тока. Как отмечалось выше, эти силы на поверхности выделенного участка имеют нормальные и касательные составляющие. На боковой поверхности выделенного участка нормальные составляющие сил давления работу не совершают, поскольку направление их действия перпендикулярно направлению движения жидкости. Касательные составляющие на боковой поверхности являются силами трения и как таковые направлены против движения. В поперечных сечениях 1 и 2 выделенного участка роль компонент сил давления противоположна: нормальные составляющие направлены вдоль движения, совершают определенную работу, которая изменяет энергию жидкости на участке 1-2, а касательные напряжения, перпендикулярные направлению движения, такой работы не совершают. Пусть нормальная составляющая поверхностных сил (сил давления) в сечении будет , а в сечении будет - , где - изменение давления на участке 1-2. За положительное направление действия сил давления примем направление по движению жидкости, поэтому давление во втором сечении взято со знаком минус. Работа сил давления при перемещении частиц жидкости из сечения 1 в сечение будет равна , где - площадь первого сечения; - скорость движения жидкости в сечении 1. Работа сил давления на участке будет равна , где - площадь поперечного сечения 2; - скорость движения жидкости в сечении 2. Ввиду бесконечно малых размеров участков и принимаем, что площади поперечных сечений трубки тока и скорости движения жидкости на этих участках постоянны; ввиду бесконечно малых размеров сечений и принимаем, что скорости движения жидкости во всех точках каждого сечения одинаковы и равны соответственно и . Результирующая работа нормальных сил будет

, (5.24)

где

(5.25)

Работу касательных составляющих поверхностных сил (сил давления), т.е. работу сил трения , на рассматриваемом участке трубки тока (участок 1 -2) обозначим через

(5.26)

Поскольку силы трения направлены против движения жидкости, их работа берется со знаком минус.

Работа массовых сил (сил тяжести) равна работе по перемещению массы жидкости в объеме между сечениями 1 и по вертикали на высоту (z₁ - z₂). Имея в виду, что данный объем равен qdt, получим для работы массовых сил:

, (5.27)

где| - ускорение свободного падения;

и - вертикальные координаты центров тяжести элементов соответственно и ;

- плотность жидкости.

Координатная ось направлена вертикально вверх, т.е. работа (5.27) считается положительной, если элемент перемещается снизу вверх. Работа массовых сил, связанная с перемещением по вертикали жидкого элемента, изменяет его потенциальную энергию; поэтому выражение (5.27) определяет изменение потенциальной энергии элемента .

Кинетическая энергия элемента равна , элемента , а ее изменение при перемещении объема из участка на участок будет

(5.28)

Приравнивая изменение механической энергии элемента при его перемещении от сечения 1 до сечения 2, т.е. сумму выражений (5.27) и (5.28), работе нормальных и касательных составляющих сил давления, т.е. сумме выражений (5.24) и (5.26), получим:

(5.29)

или, разделив все члены в (5.29) на qdt, будем иметь:

, (5.30)

где

(5.31)

Уравнение (5.30) является уравнением Даниила Бернулли^*) в дифференциальной форме для установившегося движения несжимаемой реальной жидкости. Оно имеет большое значение в технической гидромеханике, используется при расчетах трубопроводов, турбомашин, является основой расчетов вентиляционных сопротивлений в шахтах.

Кроме формы (5.30), уравнение Бернулли может быть записано в другом виде, если все его члены разделить на плотность :

. Его интеграл будет:

Используя выраженный в уравнении (5.34) закон постоянства энергии в струйке жидкости, его можно переписать в следующем виде:

(5.35)

где индексы 1 и 2 относятся соответственно к первому и второму сечениям струйки.

Уравнение (5.38) является уравнением Бернулли для струйки реальной несжимаемой жидкости при установившемся адиабатическом движении в интегральной форме. Из него видно, что разность полных энергий единицы объема жидкости в начальном и конечном сечениях струйки (левая часть уравнения) равна энергии, затраченной на преодоление сопротивлений движению (правая часть уравнения).

В уравнениях (5.30), (5.35)-(5.38) все члены имеют размерность давления, которая тождественна размерности энергии, отнесенной к единице объема , поэтому они носят названия соответствующих видов давления, именно:

- статическое, или аэродинамическое, давление;

- весовое давление;

- скоростное, или динамическое, давление.

Из уравнения Бернулли как частный случай следует основное уравнение гидростатики (3.14). Действительно, если в (5.34) положить (жидкость неподвижна), получим:

Уравнение Бернулли может быть записано в терминах энергии, отнесенной к единице веса. Из выражения (5.34) для идеальной несжимаемой жидкости при установившемся адиабатическом движении имеем

(5.56)

Здесь все члены уравнения выражают энергию единицы веса жидкости и имеют размерность длины, потому они называются «высотами» или «напорами»:

- статический, или пьезометрический, напор (высота, или напор давления;

- напор положений, или геометрическая (нивелирная) высота;

- гидростатический напор (высота);

- скоростной, или динамический, напор (высота);