4.3. Траектории и линии тока

При сходстве в названии эти две характеристики движения принципиально различны. Траектория – это линия, описываемая движущейся частицей в пространстве, или геометрическое место точек, в которых частица находилась в различные моменты времени. Как видно, эта кинематическая характеристика соответствует методу Лагранжа, она описывается системой уравнений (4.1) и характеризует историю поведения рассматриваемой частицы.

Для уяснения понятия линии тока проделаем следующую процедуру. Выберем в области движения жидкой среды некоторую произвольную точку а₁ (рис. 4.2, а). Проведем из нее вектор скорости v₁, которую в момент времени t=t₀ имела жидкость в этой точке. Далее возьмем на этом векторе некоторую точку а₂ и из нее проведем вектор скорости v₂, который жидкость имела в т. а₂ в тот же момент времени t₀; затем на векторе v₂ выберем точку а₃ и проведем из нее вектор скорости v₃, который жидкость имела в этой точке тоже в момент времени t₀, и т.д. В итоге получим ломаную линию а₁, а₂, а₃, …, стороны которой а₁а₂; а₂а₃ и т.д. являются отрезками векторов

скорости, которую жидкость имела в соответствующих точках в момент времени t₀. Если теперь стороны а₁а₂ и а₂а₃ ломаной линии начать уменьшать, то эта линия будет становиться все более гладкой и в пределе, когда стороны а₁а₂ и а₂а₃ станут равными нулю, линия а₁а₂а₃… превратится в плавную кривую, касательную к вектору скорости в каждой точке (рис. 4.2. б). Эта предельная кривая и является линией тока¹. Таким образом, линия тока соединяет точки, векторы скоростей которых в данный момент времени являются касательными к ней. Иными словами, линия тока является как бы моментальной фотографией движения: она указывает направление движения разных частиц в один и тот же момент времени. Очевидно, что построение линии тока является реализацией метода Эйлера, ибо при этом рассматривалось состояние движения (скорости) в отдельных точках жидкой среды.

Через каждую точку в потоке жидкости можно провести линию тока. Совокупность этих линий (семейство линий тока) характеризует общую картину движения (направление движения частиц во всех точках потока) в данный момент времени.

Линии тока и траектории частиц в общем случае не совпадают

4.4. Трубка тока

Проведем в потоке жидкости некоторый замкнутый, сам себя не пересекающий контур с, не имеющий особых точек.^ Если через все точки этого контура провести линии тока, то они образуют поверхность, называемую поверхностью тока (рис. 4.4). Часть потока, заключенная внутри этой поверхности, называется трубкой тока, струйкой тока, или жидкой струйкой.

Если поверхность (на рис. 4.4 заштрихована), ограниченная контуром с, бесконечно мала, трубка тока называется элементарной, в противном случае – конечной. Поток жидкости, протекающий внутри элементарной трубки тока, называется элементарной струйкой, внутри конечной трубки тока – потоком конечных размеров, или просто потоком.

Рис. 4.4. Трубка тока

Важное свойство трубки тока – непроницаемость ее боковой поверхности (поверхности тока). Это следует из того, что скорости всех точек поверхности тока направлены по касательной к этой поверхности (как совокупности линий тока) и, следовательно, не имеют нормальных к ней составляющих.

Понятие трубки тока используется при изучении движения жидкости