Измерение концентрации и подвижности носителей заряда в полупроводниках методом эффекта Холла
Эффект Холла широко используется для исследования электрофизических свойств полупроводников, в частности для определения концентрации и подвижности носителей заряда. Данный эффект носит имя американского физика Эдвина Холла, который впервые наблюдал его в 1879 году в тонких пластинах золота.
Суть эффекта Холла заключается в следующем. Пусть полупроводниковый образец прямоугольной формы, по которому течет ток плотностью j, помещен в магнитное поле B , направленное перпендикулярно вектору j (рис. 4).
Рис. 4. Эффект Холла в полупроводниках
Полупроводник имеет n -тип проводимости, т. е. основными носителями заряда являются электроны. Под действием электрического поля E электроны приобретают дрейфовую скорость vd, величина которой равна:
где μ – подвижность носителей.
На движущуюся частицу с зарядом q действует сила Лоренца Fл, направленная перпендикулярно векторам B и vd:
Под действием силы Лоренца электроны отклоняются к боковой поверхности образца, в результате чего на ней создается избыток отрицательного заряда. На противоположной стороне возникает недостаток отрицательного заряда, т. е. эта сторона заряжается положительно. Разделение зарядов происходит до тех пор, пока сила, действующая на электроны со стороны возникшего электрического поля Ех, направленного от одной боковой поверхности к другой, не скомпенсирует силу Лоренца. Поле Ех получило название поля Холла, а само явление возникновения в образце с текущим по нему током поперечного электрического поля под действием магнитного поля было названо эффектом Холла. Из условия равенства сил получим:
Отсюда легко найти разность потенциалов U х между боковыми гранями образца, называемую ЭДС Холла. Если b – ширина образца, то
Используя выражение для плотности тока, j= q∙vd∙n, где n – концентрация электронов в полупроводнике n -типа, получим:
где Rx=1/qn называется постоянной Холла.
Постоянная Холла связывает ЭДС Холла Uх , силу тока I (или плотность тока j) и индукцию магнитного поля B. Зная величину постоянной Холла Rх, можно определить концентрацию свободных носителей заряда. Знак постоянной Холла совпадает со знаком носителей заряда. Следовательно, по величине R х можно судить о типе электропроводности. Например, для электронного типа проводимость Rх < 0, для дырочного типа электропроводности Rх > 0. Если независимым способом измерить удельное сопротивление ρ или удельную электропроводность σ образца, то по измеренному значению постоянной Холла можно определить подвижность носителей заряда. Например, для полупроводника n -типа σ = q·n·μn. Отсюда:
Для полупроводника р -типа проводимости выражение для подвижности носителей имеет такой же вид. В полупроводниках со смешанной проводимостью, когда концентрации электронов и дырок сопоставимы, необходимо учитывать оба типа носителей. Электроны и дырки обладают противоположными по знаку зарядами и дрейфовые скорости у них также направлены в противоположные стороны. Поэтому при протекании электрического тока через образец сила Лоренца будет отклонять их в одну и ту же сторону. Эффект Холла при этом проявляется менее заметно. Расчеты показывают, что в этом случае постоянная Холла определяется выражением
В зависимости от того, какое из слагаемых в числителе больше, знак постоянной Холла может быть как положительным, так и отрицательным.
При рассмотрении эффекта Холла неявно предполагалось, что при протекании через образец электрического тока все носители заряда движутся с одинаковой дрейфовой скоростью. Такое допущение может быть оправдано только для металлов и вырожденных полупроводников, у которых уровень Ферми находится близко либо к дну зоны проводимости, либо к потолку валентной зоны. В обычных условиях (в невырожденных полупроводниках) такое допущение неоправданно – скорость носителей заряда распределена в соответствии с функцией распределения Максвелла. Если учесть это, то выражение для постоянной Холла примет вид:
где rn и rр – постоянные, учитывающие распределение по скоростям электронов и дырок, которые называются холл-факторами для электронов и дырок. Для полупроводника смешанной проводимости:
Холл-факторы r n и r р зависят от механизма рассеяния носителей в полупроводнике. В невырожденном прямозонном полупроводнике при преобладающем рассеянии на тепловых колебаниях кристаллической решетки
При преобладающем рассеянии на ионизованных примесных центрах r=1,93, а если рассеяние происходит на электронейтральных примесных центрах, то r=1. Если полупроводник имеет сложную зонную структуру, то выражения для постоянной Холла усложняются. Реальная структура зоны проводимости кремния имеет 6 эквивалентных минимумов энергии с поверхностями постоянной энергии в виде эллипсоидов вращения, характеризующихся продольной и поперечной эффективными массами электронов. Выражение для постоянной Холла, учитывающее реальную структуру зоны проводимости, примет вид:
Необходимо отметить, что все приведенные выше выражения справедливы только для слабых магнитных полей, для которых μ·В << 1. В кремнии и германии эти условия выполняются в полях с магнитной индукцией В ≤ 1 Тл. В полупроводниках с высокой подвижностью носителей допустимое магнитное поле уменьшается. Например, для InSb слабыми можно считать поля, у которых магнитная индукция не превышает 0,3 Тл.