2 3.3 Дифракція на отворі. Зони Френеля. Дифракція Фраунгофера на одній щілині

Дифракція на отворі. Зони Френеля

Уперше цей метод застосував О. Френель у 1815. Суть методу така. Нехай плоска хвиля поширюється через отвір радіусу R (Рисунок 23.5). Для знаходження амплітуди A₀ результуючих коливань хвилі довжиною λ у точці P, що знаходиться на осі симетрії на відстані L від екрану Френель запропонував розбити хвильову поверхню падаючої хвилі в місці розташування перешкоди на кільцеві зони (зони Френеля) за таким правилом: відстань від меж сусідніх зон до точки повинна відрізняється на половину довжини хвилі, тобто: ,

Я кщо дивитися на хвильову поверхню з точки P, то межі зон Френеля будуть являти собою концентричні кола (Рисунок 23.5), з яких легко знайти радіуси ρ_m зон Френеля:

Оскільки λ << L, другим членом під коренем можна знехтувати, звідки –

.

Кількість зон Френеля, що укладаються на отворі, визначається його радіусом R: .

Хвильовий процес у точці Р можна розглядати як результат накладання коливань, що викликаються в цій точці кожною зоною Френеля по окремості. Виходячи з того, що в кожній наступній зоні кут α між променем, проведеним у точку спостереження, і нормаллю до хвильової поверхні зростає, амплітуда таких коливань повільно убуває із зростанням номера зони (який починається від точки О). Фази коливань, що викликаються в Р суміжними зонами, протилежні. Тому хвилі, що приходять у Р від двох суміжних зон, гасять одина одну, а дія наступних зон, через одну, складається.

Сумарна амплітуда в точці спостереження Р рівна:

A = A₁ - A₂ + A₃ - A₄ + ... = A₁ - (A₂ - A₃) - (A₄ - A₅) - ... <A₁.

З гарним наближенням можна вважати, що амплітуда коливань, що викликаються деякої зоною, дорівнює середньому арифметичному з амплітуд коливань, що викликаються двома сусідніми зонами, тобто:

Сумарну амплітуду в точці спостереження Р можна переписати у такому вигляді

Вирази, що стоять у дужках, дорівнюють нулю. Тому амплітуда, викликана всім хвильовим фронтом, дорівнює половині дії однієї першої зони.

Таким чином якщо хвиля поширюється, не зустрічаючи перешкод, то сума впливів усіх зон Френеля еквівалентна дії половини першої зони.

Якщо ж за допомогою екрану з прозорими концентричними ділянками виділити частини хвилі, відповідні, наприклад, N непарним зонам Френеля, то дія всіх виділених зон складеться, й амплітуда коливань (А_{непарне}) в точці Р зросте в 2N раз, а інтенсивність світла в 4N² разів, причому освітленість у точках, що оточують Р, зменшиться. Те ж вийде при виділенні лише парних зон, але фаза сумарної хвилі (А_парне) буде мати протилежний знак.Такі зонні екрани (т.зв. лінзи Френеля) знаходять застосування не тільки в оптиці, але і в акустиці й радіотехніці - в області досить малих довжин хвиль, коли розміри лінз виходять не дуже великими (сантиметрові радіохвилі, ультразвукові хвилі).

М етод зон Френеля дозволяє швидко й наочно складати якісне, а іноді й досить точне кількісне уявлення про результат дифракції хвиль при різних складних умовах їх розповсюдження. Тому він застосовується не тільки в оптиці, але й при вивченні поширення радіо- та звукових хвиль для визначення ефективної траси «променя», що йде від передавача до приймача; для з'ясування того, чи будуть за даних умов грати роль дифракційні явища; для орієнтування в питаннях про спрямованість випромінювання, фокусуванні хвиль і т.п.

Дифракція Фраунгофера на одній щілині

Нехай паралельний пучок монохроматичного світла падає нормально на непрозору плоску поверхню, у якій прорізано вузьку щілину ВС, що має сталу ширину b=ВС і довжину l>>а (Рисунок 23.6а).

За принципом Гюйгенса-Френеля точки щілини є вторинними джерелами хвиль, що поширюються в різних напрямках.

Лінза буде збирати промені, що йдуть під кутами φ в одній точці екрану, під кутом φ₁. Промені, що прийшли в точку F_φ екрану, є когерентними й інтерферують. Розіб'ємо відкриту частину хвильової поверхні на зони паралельні краям щілини так, щоб різниця ходу променів від країв сусідніх зон до точки спостереження дорівнювала половині довжини світлової хвилі λ/2. Коливання, що приходять у точку спостереження від кожної пари сусідніх зон взаємно гасять один одного, тому знаходяться в протифазі. Різниця ходу променів, що йдуть від країв щілини, дорівнює Δl=BC=a·sinφ.

Результат інтерференції світла в точці F_φ визначиться числом зон Френеля, що вкладається в щілині. Якщо кількість зон парна, то , (k=1, 2, 3…) і в точці F_φ буде дифракційний мінімум k – го порядку. Знак «–» у правій частині рівності відповідає променям світла, які поширюються під кутом –φ і збираються в додатковому фокусі F-_φ лінзи, який симетричний до F_φ відносно головного фокусу F₀. Якщо кількість зон непарна, то (k=1, 2, 3…) і в точці F_φ буде дифракційний максимум k – го порядку з інтенсивністю J_φ і який відповідає дії однієї зони Френеля. У напрямку =0 спостерігатиметься максимум нульового порядку, інтенсивність якого J₀ найбільша. Залежність відношення від sinφ наступна (Рисунок 23.6б), тобто основна частина світлової енергії зосереджена в центральному максимумі.