16.3 Логарифмічний декремент загасання. Енергія коливального руху. Добротність коливальної системи

Логарифмічний декремент загасання

Амплітуда затухаючих коливань змінюється за законом, де А₀ - початкова амплітуда. Залежність амплітуди показана на рисунку 16.7.

Проміжок часу, протягом якого амплітуда зменшується в e разів, називається часом релаксації. Якщо А(t) і А(t+Т) - амплітуди двох послідовних коливань, відповідних моментам часу, який вирізняється на період, то відношення називається декрементом загасання, а його логарифм - логарифмічним декрементом загасання; N – кількість коливань, що здійснюються за час зменшення амплітуди в e разів.

Енергія коливального руху

Повна енергія коливальної системи буде складатися з кінетичної енергії руху вантажу й потенційної енергії, запасеної в пружині: .

Швидкість вантажу v визначається таким чином: .

Звідки

Повна механічна енергія для затухаючих коливань зменшується з плином часу за експонентою й переходить у тепло.

Добротність коливальної системи Q

1. Добротність характеризує якість коливальної системи, чим вона більша, тим менша втрата енергії в системі за одне коливання.

2. Визначення. Добротність – це відношення початкової енергії коливальної системи до енергії, що втрачається системою за один період коливання.

3. Це скалярна величина.

4. , Для малих коливань , де ω – циклічна частота затухаючих коливань, β - коефіцієнт затухання, λ - логарифмічний декремент загасання коливань, N – кількість коливань, що здійснюються за час зменшення амплітуди в e разів.

5. [Q] = 1

1 6.4 Вимушені коливання. Диференціальне рівняння вимушених механічних коливань, аналіз його розв’язку. Амплітуда і фаза вимушених коливань.

Вимушені коливання (явище)

1. Приклади явища. Вітер гойдає дерева, коливається поршень у двигуні внутрішнього згорання. Ці коливання здійснюються під дією періодичної зовнішньої сили.

2. Визначення. Вимушені коливання – це механічні коливання, які виникають під дією зовнішньої періодичної сили.

Зовнішні сили – це сили, які не входять до коливальної системи (Рисунок 16.8)

3. Умови виникнення: а) існування коливальної системи: б) на систему повинна діяти періодична зовнішня сила. (При коливаннях дерев зовнішньою силою є пориви вітру. У годиннику - це сила пружності пружини т.д.).

4. Математичний опис. Якщо коливання відбуваються під дією зовнішньої сили F(t), величина якої змінюється з часом за законом , то диференційне рівняння, що описує такі коливання, з урахуванням опору середовища буде мати вигляд , де β – коефіцієнт загасання, F₀ – амплітуда дії зовнішньої періодичної сили, m – маса маятника, Δ – початкова фаза дії зовнішньої періодичної сили, ω₀ - частота вільних коливань маятника, частота ω_F – це частота дії зовнішньої періодичної сили.

Розв’язок цього рівняння для тривалих коливань

Частота вимушених коливань дорівнює частоті дії зовнішньої періодичної сили . Фаза вимушених коливань відстає від фази коливань сторонньої сили на величину , яка залежить від середовища в якому відбуваються коливання і значень ω₀ та ω_F.

5. _{Пояснення явища.} Утворені коливання є гармонійними. Але це не вільні коливання в системі без тертя. При вимушених коливаннях робота зовнішньої сили дорівнює роботі сил тертя й опору. Тому амплітуда вимушених коливань із часом не змінюється й залежить від величини зовнішньої періодичної сили та сил тертя й опору, що існують у коливальній системі.

Амплітуда й фаза вимушених коливань

Для амплітуди і зсуву фаз характерні такі вирази:

,