4.3 Основний закон динаміки обертального руху. Умови рівноваги тіл

Основний закон динаміки обертального руху

1. Установлює зв'язок між моментом сил прикладених до тіла й кутовим прискоренням.

2. Визначення. Для тіла, що обертається навколо осі, сума моментів сил діючих на тіло дорівнює добутку моменту інерції на кутове прискорення тіла.

3. де - момент інерції тіла відносно осі обертання z, - кутове прискорення тіла, - сума моментів сил, прикладених до тіла, і розрахованих щодо осі обертання.

4. Застосовують тільки для абсолютно твердого тіла.

Умови рівноваги тіл

З 2-го закону Ньютона й основного рівняння динаміки обертального руху витікають умови рівноваги для тіл, що знаходяться у спокої:

1) сума діючих на тіло сил повинна бути рівною нулю,

,

2) сума моментів сил щодо будь-якої точки тіла повинна дорівнювати нулю.

.

4.4 Момент імпульсу тіла, що здійснює обертання. Закон збереження моменту імпульсу

Момент імпульсу матеріальної точки, що здійснює обертання L

1. Характеризує кількість обертального руху.

2. Визначення. Моментом імпульсу матеріальної точки масою m, що рухається зі швидкістю , відносно довільної точки відліку O, називають векторний добуток радіус-вектора матеріальної точки на її імпульс.

3 . Це псевдовекторна величина, напрямок якої визначають за правилом правого гвинта.

4. , де - радіус-вектор матеріальної точки (Рисунок 4.4), - її імпульс.

В еличина моменту імпульсу матеріальної точки , де l - найкоротша відстань від лінії вектора до точки О.

5. [L] = кг·м²/с

Момент імпульсу твердого тіла, що здійснює обертання L

Для тіла, що обертається, момент імпульсу відносно осі обертання z дорівнює , де - момент інерції тіла відносно осі z і ω - його кутова швидкість.

Закон збереження моменту імпульсу

1. Це один із фундаментальних законів природи. Закон використовується в гіроскопах, навігаційних пристроях кораблів, літаків, ракет (гірокомпас, гірогоризонт). Цей закон демонструють на прикладі - лаві Жуковського (Рисунок 4.5).

2. Визначення. Момент імпульсу замкнутої системи тіл відносно будь–якої нерухомої точки є постійна величина.

3.

4. Застосовується для замкнутої системи тіл.

Виведення закону збереження моменту імпульсу

Швидкість зміни моменту імпульсу системи тіл дорівнює сумі моментів сил, прикладених до цієї системи . Тоді . Якщо моменти сил постійні, то рівняння можна записати у вигляді , тобто зміна моменту імпульсу системи тіл відносно якої-небудь осі z дорівнює сумі моментів сил, діючих на цю систему, помноженої на час Δt=t₂-t₁.

Звідси випливає закон збереження моменту імпульсу: момент імпульсу системи тіл відносно осі z зберігається, якщо сума моментів сил , діючих на цю систему, дорівнює нулю.

4.5 Робота й потужність моменту сили. Кінетична енергія обертального руху твердого тіла.

Кінетична енергія обертального руху твердого тіла Т_об

1. Кінетична енергія обертального руху твердого тіла - це енергія тіла, що здійснює обертання навколо вісі.

2. Визначення. Кінетична енергія обертального руху твердого тіла - це фізична величина, яка дорівнює півдобутку моменту інерції тіла (J) на квадрат його кутової швидкості (ω).

3. Кінетична енергія обертального руху твердого тіла - це скалярна величина.

4.

5. [Т]=Дж

*У загальному випадку рух твердого тіла можна представити у вигляді суми двох рухів - поступального зі швидкістю, що дорівнює швидкості центру інерції тіла , і обертання з кутовою швидкістю ω навколо миттєвої осі, що проходить через центр інерції. При цьому вираз для кінетичної енергії тіла перетвориться до виду , де - момент інерції тіла відносно миттєвої осі обертання, що проходить через центр інерції.

Робота моменту сили А (ф.в.)

1. Механічна робота моменту сили - це характеристика зміни стану тіла, що здійснює обертання.

2. Визначення. Робота моменту сили - це фізична величина, яка дорівнює інтегралу по кутовому переміщенню від моменту сили, що діє на тіло, яке здійснює обертання.

3. Робота моменту сили - це скалярна величина.

4. . Якщо , то .

[А]=Н·м=Дж (Джоуль).

Потужність моменту сили Р (ф.в.)

1. Потужність моменту сили характеризує швидкість виконання роботи.

2. Визначення. Потужність - це фізична величина, яка чисельно дорівнює добутку кутової швидкості на момент сили, що діє на тіло, яке здійснює обертання.

3. Потужність - це скалярна величина.

4. , де М - момент сили, що діє на тіло, яке здійснює обертання, ω - кутова швидкість тіла.

5. [N]=Дж/с=Вт (Ват)

Таблица 4.2 - Порівняння фізичних величин для поступального й обертального рухів

Поступальний рух		Обертальний рух
Маса	m		Момент інерції	Ј
Переміщення			Кутове переміщення
Швидкість			Кутова швидкість
Прискорення			Кутове прискорення
Сила			Момент сили
Імпульс			Момент імпульсу
Робота			Робота
Кінетична енергія			Кінетична енергія
Основне рівняння динаміки			Основне рівняння динаміки

Запитання до лекції 4

1. Напишіть вираз для моменту обертаючої сили у векторній формі.

2. Як визначити напрямок вектора моменту обертаючої сили?

3. Як розумієте поняття моменту інерції матеріальної точки відносно осі обертання?

4. Чому дорівнює робота обертаючого моменту сили при повороті тіла на певний кут?

5. Напишіть формулу, що визначає миттєву потужність моменту сили.

6. Від чого залежить кінетична енергія тіла, що обертається відносно нерухомої осі? Напишіть відповідну формулу.