4.1 Обертання твердого тіла навколо нерухомої осі. Момент сили.

Обертання твердого тіла навколо нерухомої осі. Момент сили.

Для спрощення розв’язування задач використовують наближення – абсолютно тверде тіло.

Визначення. Абсолютно тверде тіло - це тіло, взаємне положення будь-яких точок якого не змінюється, в яких би процесах воно не брало участь. Іншими словами – це тіло, яке не можна деформувати.

В абсолютно твердому тілі силу можна переносити вдовж лінії дії сили.

Визначення. Лінія дії сили - це лінія, вздовж якої діє сила.

Визначення. Вісь обертання - це лінія, навколо якої може обертатися тіло.

Д ля кожного твердого тіла можна виділити безліч осей обертання, але її вибирають так, щоб найбільше спростити розв’язок задач.

Момент сили M

1. Момент сили - це характеристика обертального руху тіла.

2. Визначення. Моментом сили відносно якої-небудь точки називається векторний добуток радіуса-вектора, проведеного в точку прикладання сили на цю силу.

3. Вектор моменту сили напрямлений перпендикулярно до площини, проведеної через вектори і , і утворює з ними праву трійку векторів (при спостереженні з вершини вектора М (рисунок 4.1) видно, що обертання по найкоротшій відстані від до відбувається проти годинникової стрілки).

4. , де - радіус-вектор, проведений з точки О в точку прикладання сили.

З начення моменту сили можна знайти за формулою або можна записати , де l плече сили - найкоротша відстань від точки О до лінії дії сили.

4. [М] = Н·м (Ньютон·метр).

*Момент сили відносно якої-небудь точки дорівнює нулю, якщо лінія дії сили проходить через цю точку.

*Проекція вектора сили на яку-небудь вісь, наприклад, вісь z, називається моментом сили відносно цієї осі. Щоб визначити момент сили відносно осі, спочатку проектують силу на площину, перпендикулярну осі (рисунок 4.2), а потім знаходять момент цієї проекції відносно точки перетину осі з перпендикулярної їй площиною.

*Якщо лінія дії сили паралельна осі або перетинає її, то момент сили відносно цієї осі дорівнює нулю.

4.2 Момент інерції тіла. Теорема Штейнера.

Момент інерції тіла Ј (йота)

1. Характеризує інертні властивості тіл при їх обертанні.

2. Визначення. Моментом інерції Ј_z тіла відносно осі z називається сума добутків мас точок цього тіла на квадрати відстаней від цих точок до осі.

3. Це скалярна величина.

4. , де m_i- маса i-тої точки, r_i - найкоротша відстань від i-тій точки до осі z.

Для суцільних тіл момент інерції визначається через інтеграл

, де r - відстань від елемента маси тіла dm до осі z.

5. [Ј] = кг·м²

*Моменти інерції однорідних тіл простої геометричної форми зазвичай розраховують за формулою, а складної - визначають експериментально. У таблиці 4.1 наведені моменти інерції деяких тіл.

Таблиця 4.1 - Моменти інерції однорідних тіл простої форми

Тіло	Опис	Положення вісі a	Момент інерції Ja
	Матеріальна точка маси m	На відстані r від точки.
	Порожнистий тонкостінний циліндр або кільце радіуса r і маси m.	вісь циліндра
	Суцільний циліндр або диск радіуса r і маси m	вісь циліндра
	Порожнистий товстостінний циліндр маси m із зовнішнім радіусом r2 і внутрішнім радіусом r1	вісь циліндра
	Суцільний циліндр довжини l, радіуса r і маси m	Вісь перпендикулярна до циліндра і проходить через його центр мас
	Порожнистий тонкостінний циліндр (кільце) довжини l, радіуса r і маси m	Вісь перпендикулярна до циліндра і проходить через його центр мас
	Прямий тонкий стрижень довжини l і маси m	Вісь перпендикулярна до циліндра і проходить через його центр мас
	Прямий тонкий стрижень довжини l і маси m	Вісь перпендикулярна до стрижня і проходить через його кінець
	Тонкостінна сфера радіуса r і маси m	Вісь проходить через центр сфери
	Кулю радіуса r і маси m	Вісь проходить через центр кулі

Т еорема Штейнера

1. Дозволяє розрахувати момент інерції тіла щодо довільної осі.

2. Визначення. Якщо для будь-якого тіла відомий його момент інерції Ј_kc щодо осі x_c, що проходить через центр мас С тіла (рисунок 4.3), то момент інерції цього тіла відносно осі x₁, паралельної x_c, дорівнює.

3. де m - маса тіла, a - найменша відстань між осями x₁ і x_c.

4. Застосовують для обертання абсолютно твердого тіла.