3.2.Основные теоретические положения

При обработке цифровых моделей изображений достаточно часто (прямо или косвенно) используются различные статистические характеристики изображений. Одной из важнейших таких характеристик является гистограмма распределения уровней серого тона.

Будем рассматривать набор пикселей , образующих изображение, как некоторый случайный процесс. В этом случае можно говорить о плотности распределения вероятностей первого порядка для события, заключающегося в том, что пиксель примет значение яркости P. Если предположить, что эта плотность не зависит от координат пикселя, то ее можно оценить для каждого изображения:

,

где P – уровень яркости; будем считать, что всего существует L различных уровней, образующих диапазон ; – число пикселей в изображении, имеющих яркость P, – общее число пикселей в изображении.

Полученный результат называется гистограммой изображения .

Форма гистограммы во многом отражает качество изображения. В частности, для изображений, полученных при нормальном уровне освещения яркости для среднестатистических сцен, гистограмма не имеет выраженной асимметрии, для затемненных изображений, сформированных при недостаточном освещении, гистограмма имеет перекос в области малых значений яркости, а для изображений, полученных при чрезмерно ярком освещении гистограмма, наоборот, имеет перекос в области больших значений яркости.

Одним из требований, предъявляемых к системам технического зрения, является необходимость автоматической адаптации при изменении освещения, в том числе необходимость компенсации теней и бликов на изображении. В некоторой степени это требование может быть выполнено путем применения специальных алгоритмов, реализующих гистограммное выравнивание. Рассмотрим общий принцип и некоторые варианты реализации этих алгоритмов.

Пусть яркость пикселей исходного изображения характеризуется переменной . Для простоты рассуждений будем рассматривать как непрерывную величину, изменяющуюся в диапазоне от 0 до 1.

Предположим, что каждый пиксель исходного изображения подвергается некоторому преобразованию , в результате чего формируется преобразованное изображение с яркостями пикселей :

Будем считать, что функция преобразования T удовлетворяет следующим условиям: 1) – однозначная и монотонно возрастающая на интервале ; 2) Область значений для интервала также составляет .

Первое условие гарантирует, что черные цвета исходного изображения не инвертируются в белые цвета преобразованного, а второе – что яркости пикселей в преобразованном изображении не выйдут за границы исходного диапазона.

Очевидно, можно также определить функцию обратного преобразования:

.

Как было сказано выше, в реальных изображениях пиксели принимают то или иное значение яркости случайным образом. Это означает, что переменные и могут рассматриваться как случайные величины и должны характеризоваться функциями плотности распределения вероятностей, которые будем обозначать и соответственно. Фактически, гистограмма изображения представляет собой оценку подобной плотности распределения, поэтому выкладки, которые будут получены для плотностей распределения, могут быть обобщены и на гистограммы.

Поскольку переменные и связаны между собой функциональным преобразованием T, очевидно должна быть определенная связь между соответствующими функциями плотностей распределения. Из теории вероятностей известно, что если и известны, а удовлетворяет первому условию, то

. ( 1 )

Вернемся к вопросу выравнивания гистограмм. Фактически эту задачу можно сформулировать следующим образом: необходимо найти такое преобразование T, чтобы в результате его применения к исходному изображению получилось преобразованное изображение , имеющее равномерную гистограмму.

Рассмотрим функцию преобразования следующего вида:

, ( 2 )

где x – вспомогательная переменная интегрирования.

Подобная функция удовлетворяет приведенным ранее требованиям, поэтому ее можно попробовать использовать для преобразования исходного изображения. Очевидно, что для такой функции

, ( 3 )

поэтому, подставляя выражение (3) в (1) получим:

.

Данное выражение представляет собой равномерную плотность на всей области определения переменной . Таким образом, если к произвольному изображению применить преобразование, определяемое функцией (2), то результирующее изображение будет иметь выровненную гистограмму (автоматическая коррекция яркости).

При обработке реальных изображений необходимо рассматривать дискретные переменные и , изменяющиеся в диапазоне от 0 до , где L – число уровней яркости. При этом вместо функции плотности распределения вероятностей используется гистограмма .

Дискретная форма уравнения (2) будет иметь вид:

.

После вычисления функционального преобразования T осуществляется непосредственно гистограммное выравнивание.