Тема 3. Средние величины

Методические указания

Средние величины служат важнейшим средством обобщения и характеристики типичного и закономерного в явлениях.

Трудным вопросом методологии является вопрос о выборе вида средней. В социальной статистике применяются различные виды средних: средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя квадратическая, средняя геометрическая, структурные средние. Здесь важно твердо усвоить, что решение этого вопроса зависит от характера исходного соотношения, выражающего данную среднюю величину, от содержания осредняемого признака, его связи с другими признаками, а также от особенностей исходного материала. Каждый из видов средних величин может выступать либо в форме простой, либо в форме взвешенной средней.

В этой теме следует обратить внимание на вычисление средней арифметической по данным ряда распределения, а также на упрощенные способы ее расчета.

Необходимо уяснить смысл структурных средних (моды и медианы), область их применения и способы вычисления.

Техника вычисления средних величин должна быть закреплена практическими упражнениями.

Поясним на примерах решение вопроса о выборе вида средней.

Задача 1. В трех партиях однотипных изделий численностью в 2000, 2400, 1000 шт. обнаружен следующий процент брака: первая партия - 3,0%, вторая партия - 2,5%, третья партия - 1,0%. Требуется вычислить средний процент брака в трех партиях.

Решение. Доля брака представляет собой отношение числа бракованных изделий ко всему числу их. Средний процент брака в данной задаче определяется по формуле средней арифметической взвешенной:

Критерием правильности применения этой средней является то, что взвешивание процента брака (x) по числу изделий (f) (после деления на 100) дает число бракованных изделий. Подставляя значения в формулу, получим величину среднего процента брака:

Примечание. Если бы в условии задачи бал задан процент брака и число бракованных изделий в каждой партии, то для исчисления среднего процента брака применять среднюю арифметическую было бы неправильно, так как взвешивание процента брака (x) по числу бракованных изделий (f) приводило бы к бессмысленному результату. В этом случае пришлось бы прибегнуть к формуле средней гармонической, исчисление которой покажем на следующем примере.

Задача 2. Вычислить среднюю месячную заработную плату рабочих предприятия по следующим данным:

Группы рабочих	Средняя месячная заработная плата рабочего (руб.) (O)	Всего начислено заработной платы за месяц (руб.) (W)
1	170	45050
2	180	32040
3	210	50820

Решение. В данной задаче следует применить среднюю гармоническую взвешенную:

Критерием правильности применения средней гармонической является то, что взвешивание обратных величин средней месячной заработной платы ( ) по суммам начисленной заработной платы дает осмысленный результат, так как отношение равно числу рабочих. Подставляя числовые значения в формулу средней гармонической, получаем:

руб.

Примечание. Если бы в условии задачи была дана средняя месячная заработная плата рабочих по группам и число рабочих в каждой группе (а не начисленная за месяц заработная плата), то исчисление средней заработной платы всей совокупности рабочих следовало бы производить по формуле средней арифметической взвешенной.

Вычисление средней в дискретных и интервальных рядах рас­пределения осуществляется по формуле средней арифметической взвешенной:

Пример вычисления средней по интервальному ряду:

Группы рабочих по выполнению норы выработки, %	Число рабочих, в процентах к итогу (f)	Середина интервала (x)	xf
90-100	28	95	2660
100-110	48	105	5040
110-120	20	115	2300
Итого:	100	-	10500

Для упрощения расчетов средней при наличии группировки с равными интервалами целесообразно использовать способ моментов пли способ отсчета от условного нуля, основанный на математи­ческих свойствах средней арифметической.

Вычисление моды и медианы различно для дискретного и интервального рядов распределения.

В дискретных рядах мода (М_i) определяется по наибольшей частоте без дополнительных вычислений: определение медианы (М_е) требует начисления накопленных частот.

Для интервального ряда распределения расчет моды производится по специальной формуле:

,

где x₀ - нижняя граница интервала;

h - величина интервала;

f_m - частота модального интервала;

f_m-1- частота интервала, предшествующего модальному;

f_m+1 - частота интервала, следующего за модальным.

Задача 3. Имеются данные о средней дневной выработке продавцов универмага.

Дневная выработка (тыс. руб.) (x)	2-4	4-6	6-8	8-10	10-12
Количество	15	35	60	48	20

Модальное значение дневной выработки равно:

тыс. руб.

Медиана (I_е) в интервальном ряду распределения вычисляется по формуле:

,

где x₀ - нижняя граница медианного интервала;

h - величина интервала;

- сумма частот интервалов предшествующих медианному;

- частота медианного интервала.

Задача 4 . Группировка 200 ткачих по размеру их дневной выработки:

Дневная выработка ткачих в м. (x)	Число ткачих (f)	Накопление частоты (S)
50-60	20	20
60-70	30	50
70-80	60	110
80-90	50	160
90-100	40	200
Итого:	200	-

Медианное значение дневной выработки:

метров

В нашем примере медиана показывает, что 100 ткачих имеет дневную выработку менее 78,3 м и 100 ткачих - более 78,3 м.

Задача 5. Дневная продажа мяса на рынках города характеризуется следующими данными:

Рынки	Реализовано мяса на рынке на сумму (тыс. руб.)	Средняя цена 1 кг говядины, руб.
1	12,0	3,0
2	9,6	2,5
3	17,6	2,7
4	12,6	2,8

Вычислите среднюю цену 1 кг говядины вместе по всем рынкам.

Задача 6. Имеются следующие данные о товарообороте продовольственного магазина;

	1 квартал		2 квартал
Отделы Магазина	План товарооборота (тыс. руб.)	процент выполнения плана	фактический товарооборот (тыс. руб.)	процент выполнения плана
Гастрономический	200	105,2	220	107.0
Бакалейный	100	102,3	90	101,3
Кондитерский	150	96,5	160	103,1
Молочный	120	101,0	130	105,6

Определите средний процент выполнения плана по товарообороту магазином: а) за I квартал; б) за 2 квартал; в) за полугодие.

Ответ: а) 102,04%; б) 104,75%; в) 103.4%

Задача 7. Дано распределение рабочих химического завода по возрасту:

Группы рабочих по возрасту (лет)	Число рабочих (в % к итогу)
до 20	22,0
20-25	30,0
25-30	21.0
30-35	9,0
35-40	8,0
40-45	6,0
45 и выше	4,0

Определите средний возраст рабочего.

Ответ: 26 лет.

Задача 8. По данным задачи 7 определите моду и медиану.

Ответ: M₀ = 22 года; M_e = 24 года.

Задача 9. Два предприятия в отчетном периоде фактически произвели продукции на 10 тыс. рублей каждое. При этом одно предприятие выполнило план производства на 112%, а второе - на 105%. Исчислите, как в среднем выполнен план производства продукции на этих двух предприятиях вместе.

Задача 10. За смену выработка рабочими однородной продукции характеризуется таким распределением:

Выработка, шт.	40	42	45	46	48	50
Число рабочих, человек	25	50	100	125	150	50

Исчислите среднюю выработку на одного рабочего за смену , дисперсию, среднеквадратическое отклонение и коэффициент вариации. Исчислите моду, медиану, коэффициент ассиметрии.

Задача 11. По следующим данным исчислите среднюю заработную плату рабочих:

Группа рабочих	Средняя месячная заработная плата одного рабочего, руб.	Всего начислено заработной платы, руб.
А Б В	140 155 135	17500 21700 12690

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте определение средней величены.

2. Что такое осредняемый признак?

3. В чем заключается связь метода группировок и метода средних?

4. Какие формы средней Вы знаете?

5. В каких случаях может применяться простая (невзвешенная) средняя?

6. Что такое средняя гармоническая?

7. На чем основывается выбор вида средней?

8. Что характеризует мода и медиана?