7.4. Теоремы Бернулли и Пуассона
Теорема
Бернулли. Частота события в
повторных независимых испытаниях, в
каждом из которых оно может произойти
с одной и той же вероятностью
,
при неограниченном увеличении числа
сходится по вероятности к вероятности
этого события в отдельном испытании:
или
.
Заключение
теоремы непосредственно вытекает из
неравенства Чебышева для частоты события
при
.
Замечания. Теорема Бернулли является следствием теоремы Чебышева, т.к. частоту события можно представить как среднюю арифметическую независимых альтернативных случайных величин, имеющих один и тот же закон распределения. Доказательство теоремы (более громоздкое) возможно и без ссылки на теорему (неравенство) Чебышева. Исторически эта теорема была доказана намного раньше более общей теоремы Чебышева.
Теорема Бернулли дает теоретическое обоснование замены неизвестной вероятности события его частотой, или статистической вероятностью, полученной в повторных независимых испытаниях, проводимых при одном и том же комплексе условий. Так, например, если вероятность рождения мальчика нам неизвестна, то в качестве ее значения мы можем принять частоту (статистическую вероятность) этого события, которая, как известно по многолетним статистическим данным, составляет приближенно 0,515.
Непосредственным обобщением теоремы Бернулли является теорема Пуассона, когда вероятности события в каждом испытании различны.
Теорема
Пуассона. Частота события в
повторных испытаниях, в каждом из которых
оно может произойти соответственно с
вероятностями
,
при неограниченном увеличении числа
сходится
по вероятности к средней арифметической
вероятностей события в отдельных
испытаниях, т.е.
или
.
Теорема
Пуассона непосредственно вытекает из
теоремы Чебышева, если в качестве
случайных величин
рассматривать альтернативные случайные
величины, имеющие законы распределения
с параметрами
.
Так как математические ожидания случайных
величин
равны соответственно
,
,…,
,
а их дисперсии
ограничены одним числом, то эта формула
непосредственно вытекает из теоремы
Чебышева.
Важная
роль закона больших чисел в теоретическом
обосновании методов математической
статистики и ее приложений обусловила
проведение ряда исследований, направленных
на изучение общих условий применимости
этого закона к последовательности
случайных величин. Так, в теореме Маркова
доказана справедливость предельного
равенства для зависимых случайных
величин
при условии
.
Например,
температура воздуха в некоторой местности
каждый день года – величины случайные,
подверженные существенным колебаниям
в течение года, причем зависимые, ибо
на погоду каждого дня, очевидно, заметно
влияет погода предыдущих дней. Однако
среднегодовая температура
почти не меняется для данной местности в течение многих лет, являясь практически неслучайной, предопределенной.
Помимо различных форм закона больших чисел в теории вероятностей имеются еще разные формы так называемого «усиленного закона больших чисел», где показывается не «сходимость по вероятности», а «сходимость с вероятностью 1» различных средних случайных величин к неслучайным средним. Однако этот усиленный закон представляет больше интерес в теоретических исследованиях и не столь важен для его приложения в экономике.