6.7. Задачи для самостоятельного решения

1. Из партии в 20 изделий, среди которых имеется 6 бракованных, выбраны случайным образом 3 изделия для проверки их качества. Построить ряд распределения случайной величины Х – числа бракованных изделий среди отобранных, найти функцию распределения, числовые характеристики.

2. Имеются три базы с независимым снабжением. Вероятность отсутствия на базе нужного товара равна 0,1. Предприниматель решил закупить некий товар. Составить закон распределения числа баз, на которых в данный момент этот товар отсутствует, найти функцию распределения, числовые характеристики.

3. Вероятность того, что при составлении бухгалтерского баланса допущена ошибка, равна 0,3. Аудитору на заключение представлено 3 баланса предприятия. Составить закон распределения числа положительных заключений на проверяемые балансы.

4. Имеются 4 различных ключа, из которых только один подходит к замку. Составить закон распределения числа опробованных ключей, если опробованный ключ в дальнейшем не участвует в испытаниях. Найти функцию распределения, числовые характеристики.

5. В магазин привезли арбузы из Ташкента и Камышина в равных количествах. Вероятность покупки неспелого арбуза равна соответственно 0,1 и 0,3. Куплено 4 арбуза. Составить закон распределения спелых арбузов среди купленных. Найти функцию распределения, числовые характеристики.

6. В лотерее 100 билетов, из которых 2 выигрышных по 50 руб. и 10 выигрышных по 1 руб. Стоимость билета 2 руб. Составить закон распределения суммы чистого выигрыша для лица, купившего 2 билета. Построить многоугольник распределения. Найти функцию распределения, числовые характеристики.

7. Два покупателя независимо друг от друга делают по одной покупке. Вероятность того, что покупку сделает первый покупатель, равна 0,6, а вероятность того, что второй – 0,8. Случайная величина – число покупок, сделанных покупателями. Найти функцию распределения случайной величины .

8. В магазин поступили электролампы с трех заводов в пропорции 2:3:5. Доля брака в продукции первого завода – 5%, второго – 2%, третьего – 3%. Покупатель приобрел 3 лампочки. Найти: а) математическое ожидание и б) среднее квадратичное отклонение числа качественных лампочек среди купленных.

9. У продавца имеются изделия, полученные в равных количествах с трех фабрик. Вероятность того, что эти изделия отличного качества, для каждой фабрики соответственно со­ставляет 0,8; 0,7 и 0,9. Отобрано 2 изделия. Составить закон распределения количества изделий отличного качества среди отобранных.

Указание. Вначале вычисляется вероятность отбора изделия отличного качества: .

10. Ряд распределения случайной величины имеет вид

	-5	2	3	4
	0,3	0,4	0,2	0,1

Построить функцию распределения. Вычислить и .

11. Задан ряд распределения:

	2	3	5	6	7	10
	0,40	0,20	0,20	0,05	0,10	0,05

Найти , и .

12. Случайная величина имеет распределение Рэлея

.

Написать выражение плотности вероятности случайной ве­личины.

13. Даны законы распределения независимых случайных величин:

:		-4	0	4
		0,1	0,5	0,4

:		2	4
		0,5	0,5

Требуется:

– составить закон распределения случайной величины ;

– найти числовые характеристики случайных величин ;

– проверить свойство

– построить функцию распределения для и построить ее график.

14. Случайная величинах имеет плотность вероятности

Найти функцию распределения вероятностей и построить график. Найти числовые характеристики.

15. Плотность вероятности непрерывной случайной вели­чины задана в интервале (0; ) функцией . Вне этого интервала . Найти параметр С.

16. Случайная величина имеет плотность вероятности

Найти функцию распределения вероятностей и построить график. Найти числовые характеристики.

17. Случайная величина задана плотностью вероятнос­ти при . Определить параметр и математическое ожидание.

18. Случайная величина распределена равномерно на отрезке . Найти функцию распределения, математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение величины .

19. Автобусы подходят к остановке с интервалом в 5 мин. Считая, что случайная величина – время ожидания автобуса – распределена равномерно, найти среднее время ожидания (математическое ожидание) и среднее квадратичное отклонение случайной величины.

20. Паром для перевозки автомашин через залив под­ходит к причалу через каждые два часа. Считая, что время прибытия автомашин – случайная величина – распре­делено равномерно, определить среднее время ожидания ав­томашиной прихода парома и дисперсию времени ожидания.

21. Математическое ожидание нормально распределен­ной случайной величины равно , дисперсия равна . Написать выражение для плотности вероятности.

22. Известно, что средний расход удобрений на один гектар пашни составляет 80 кг, а среднее квадратичное отклонение расхода равно 5 кг. Считая расход удобрений нормально распределенной случайной величиной, определить диапазон, в который вносимая доза удобрений попадает с вероятностью 0,98.

23. Математическое ожидание нормально распределенной случайной величины – количества сыра, используемого для изготовления 100 бутербродов, – равно 1 кг. Известно, что с вероятностью 0,96 расход сыра на изготовление 100 бутербродов составляет от 900 до 1100 г. Определить среднее квадратичное отклонение расхода сыра на 100 бутербродов.

24. При измерении нормально распределенной случайной величины оказалось, что ее среднее квадратичное отклонение равно 10, а вероятность попадания этой величины в интервал от 100 до 140, симметричный относительно математического ожидания, равна 0,86. Найти математическое ожидание этой величины и вероятность попадания ее в интервал от 90 до 150.

25. Плотность вероятности случайной величины Х имеет вид

Найти параметр С, функцию распределения, числовые характеристики, вероятность попадания значений случайной величины в промежуток (4:10).

26. Случайная величина Х задана плотностью вероятности на интервале (3; 5). Вне этого интервала . Найти моду, медиану и математическое ожидание.

Указание. Для нахождения моды можно использовать необходимое и до­статочные условия экстремума функции. Для нахождения медианы нужно учесть симметричность параболы относительно ее оси.

27. Паром для перевозки автомашин через залив под­ходит к причалу через каждые два часа. Считая, что время прибытия к парому – случайная величина Х – распре­делено равномерно, определить среднее время ожидания автомашиной прихода парома и дисперсию времени ожидания.