6.6. Решение типовых задач

Пример 1. Проводится проверка большой партии дета­лей до обнаружения бракованной (без ограничения числа прове­ренных деталей). Составить закон распределения числа прове­ренных деталей. Найти его математическое ожидание и диспер­сию, если известно, что вероятность брака для каждой детали равна 0,1.

Решение. Случайная величина – число проверенных деталей до обнаружения бракованной – имеет геометрическое распределение с параметром = 0,1. Поэтому ряд распределения имеет вид

	1	2	3	4	…		….
	0,1	0,09	0,081	0,0729	…		….

Для геометрического распределения:

.

Пример 2. В лотерее «Спортлото 6 из 45» денежные при­зы получают участники, угадавшие 3, 4, 5 и 6 видов спорта из отобранных случайно 6 видов из 45 (размер приза увеличивается с увеличением числа угаданных видов спорта). Найти закон рас­пределения случайной величины – числа угаданных видов спорта среди случайно отобранных шести. Какова вероятность получения денежного приза? Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины .

Решение. Очевидно, что число угаданных видов спорта в лотерее «6 из 45» есть случайная вели­чина, имеющая гипергеометрическое распределение с параметрами , , N= 45:

.

Составим ряд распределения случайной величины Х.

	0	1	2	3	4	5	6
	0,40056	0,42413	0,15147	0,02244	0,00137	0,00003	0,0000001

Вычислим вероятность получения денежного приза:

Для гипергеометрического распределения:

,

Таким образом, среднее число угаданных видов спорта из 6 всего 0,8, а вероятность выигрыша только 0,024.

Пример 3. Радист вызывает корреспондента, причем каждый последующий вызов производится лишь в том случае, если предыдущий вызов не принят. Вероятность того, что кор­респондент примет вызов, равна 0,4. Составить закон распределения числа вызовов, если: а) число вызовов не более 5; б) число вызовов не ограничено.

Найти математическое ожидание и дисперсию этой случай­ной величины.

Решение: а) случайная величина – число вызовов корреспондента – может принимать значения 1, 2, 3, 4, 5. Обозначим событие – -й вызов принят ( = 1, 2, 3, 4, 5). Тогда вероятность того, что первый вызов принят, ( =1)= =0,4.

Второй вызов состоится лишь при условии, что первый вызов не принят, т.е.

Аналогично

.

Пятый вызов при любом исходе (будет принят, не принят) — последний. Поэтому

Вероятность можно найти и иначе, учитывая, что последний вызов будет или принят, или нет, т.е.

Ряд распределения случайной величины имеет вид

	1	2	3	4	5
	0,4	0,24	0,144	0,0864	0,1296

Проверяем, что .

Вычислим математическое ожидание:

1 0,4 + 2 0,24 + 3 0,144 +

+ 4 0,0864 + 5 0,1296 = 2,3056.

Найдем по формуле: D(X).

Вычислим

.

Тогда .

б) так как число вызовов не ограничено, то ряд распределе­ния геометрически распределенной случайной величины примет вид

	1	2	3	4	…		…
	0,4	0,24	0,144	0,0864	…		…

Вычислим математическое ожидание

.

Дисперсия равна .

Пример 4. Вероятности того, что студент сдаст семест­ровый экзамен в сессию по дисциплинам А и Б, равны соответственно 0,7 и 0,9. Составить закон распределения числа семестровых экзаменов, которые сдаст студент.

Решение. Возможные значения случайной величины – числа сданных экзаменов – 0, 1, 2.

Пусть – событие, состоящее в том, что студент сдаст 1-й экзамен (  = 1, 2). Тогда вероятности того, что студент сдаст в сессию 0, I, 2 экзамена, будут соответственно равны (считаем события и независимыми):

,

,

.

Итак, ряд распределения случайной величины имеет вид

X		0	1	2
		0,03	0,34	0,63

На рисунке 6.5 полученный ряд распределения представлен графически в виде многоугольника распределения вероятностей.

Рис. 6.5

Пример 5. Даны законы распределения двух независимых случайных величин:

	2	4	6	8
	0,4	0,2	0,1	0,3

	0	1	2
	0,5	0,2	0,3

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины .

Решение. Используя свойства математического ожидания и дисперсии, а также учитывая, что X и Y – независимые случайные величины, имеем:

;

.

Вычислим и :

;

.

Тогда .

Вычислим и . Вначале найдем и :

;

.

Затем определим и :

;

.

Окончательно получим

.

Пример 6. Даны законы распределения двух независимых случайных величин:

:		0	2	4		:		-2	0	2
		0,5	0,2	0,3				0,1	0,6	0,3

Найти закон распределения случайных величин: a) ;

6) .

Решение: а) найдем значения, которые может принимать случайная величина и соответствующие вероятности:

0-(-2)=2
0-0=0
0-2=-2
2-(-2)=4
2-0=2
2-2=0
4 -(-2)=6
4 -0=4
4 -2=2

Ряд распределения для будет иметь вид

:		-2	0	2	4	6
		0,15	0,36	0,26	0,20	0,03

Убеждаемся в том, что условие выполнено;

б) ряд распределения для находится аналогично.

:		-8	-4	0	4	8
		0,03	0,02	0,80	0,06	0,09

Убеждаемся в том, что условие выполнено.

Пример 7. Два консервных завода поставляют продукцию в магазин в пропорции 2:3. Доля продукции высшего качества на первом заводе составляет 90%, а на втором – 80%. В магазине куплено 3 банки консервов. Найти математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение числа банок с продукцией высшего качества.

Решение. Вначале составим закон распределения случайной величины – числа банок с продукцией высшего качества среди купленных трех банок. Вероятность появления события – куплена банка с продукцией высшего качества – найдем по формуле полной вероятности:

.

Закон распределения случайной величины можно определить, используя формулу Бернулли .

Случайная величина может принимать значения 0, 1, 2, 3. Закон ее рас­пределения (с учетом того, что , ) примет вид

	0	1	2	3
	0,004	0,066	0,337	0,593

Т.е. имеет место биномиальный закон распределения: , ,

.

Пример 8. Найти математическое ожидание случайной ве­личины

, если известно, что , .

Решение. Используя свойства математического ожидания, найдем

.

Пример 9. Найти дисперсию случайной величины , если известно, что случайные величины X и Y независимы и .

Решение. Используя свойства дисперсии, найдем

.

Пример 10. Случайная величина задана плотностью вероятнос­ти в интервале (0; 2), вне этого интервала . Найти математическое ожидание величины .

Решение. На основании формулы

получим .

Пример 11. Случайная величина задана в интервале (0; ) плот­ностью вероятности , вне этого интервала . Найти дисперсию величины .

Решение. Для нахождения дисперсии используем формулу

.

Вычислим математическое ожидание

.

Интегрируя по частям, получаем . Находим значение первого сла­гаемого в выражении дисперсии:

.

Интегрируя по частям дважды, получаем .

Подставляя в выражение дисперсии полученные значения, находим

.

Пример 12. Ряд распределения дискретной случайной величины состоит из двух неизвестных значений. Вероятность того, что случайная величина примет одно из этих значений, равна 0,8. Найти функцию распределения случайной величины, если ее математическое ожидание равно 3,2, а дисперсия 0,16.

Решение. Ряд распределения имеет вид

:
		0,8	0,2

Т.к. , то .

По условию , а или

Решая полученную систему, находим два решения:

и

Записываем выражение функции распределения:

или

Пример 13. Дана функция распределения случайной величины :

а) найти плотность вероятности ; б) построить графики и ; в) убедиться в том, что — непрерывная случайная величина; г) найти вероятности (две последние вероятности показать на графиках и ); д) вычислить математическое ожидание , дисперсию , моду , медиану .

Решение: а) плотность вероятности

б) графики и изображены на рис. 6.6 и 6.7.

Рис. 6.6

Рис. 6.7

в) случайная величина - непрерывная, так как функция распределения непрерывна, а ее производная – плотность вероятности – непрерывна во всех точках, кроме одной ( );

г) как вероятность отдельно взятого значения непрерывной случайной величины.

можно найти либо по определению функции распределения, либо по свойству плотности вероятности :

.

Эта вероятность равна площади под кривой распределения на отрезке [0;1] (рис. 6.6).

можно найти либо как приращение функции распределения, либо через плотность вероятности :

– приращение ординаты графика на отрезке [1;2] (рис. 6.7) есть искомая вероятность

;

– площадь под кривой распределения на отрезке (рис. 6.6) равна вероятности

;

д) математическое ожидание

.

Если представить распределение случайной величины в виде единичной массы, распределенной по треугольнику (рис. 6.6), то значение означает абсциссу центра массы треугольника.

По формуле дисперсия

Вначале найдем

.

Теперь .

Плотность вероятности максимальна при (рис. 6.7), следовательно, .

Медиану найдем из условия , т.е. , откуда , или через плотность вероятности

,

откуда .

Пример 14. Полагая, что рост мужчин определенной воз­растной группы есть нормально распределенная случайная вели­чинах с параметрами =173 и = 6, найти:

а) выражение плотности вероятности и функции распределе­ния случайной величины ;

б) доли костюмов 4-го роста (176–182 см) и 3-го роста (170–176 см), которые нужно предусмотреть в об­щем объеме производства для данной возрастной группы;

в) квантиль и 10%-ю точку случайной величины .

г) сформулировать «правило трех сигм» для случайной вели­чины Х.

Решение: а) плотность вероятностей нормально распределенной величины имеет вид:

.

Тогда функция распределения имеет вид:

;

б) доля костюмов 4-го роста (176–182 см) в общем объеме производства определится по формуле

, где .

,

так как

,

Долю костюмов 3-го роста (170–176 см) можно было определить аналогично, но проще это сделать, если учесть, что данный интервал симметричен относительно математического ожидания , т.е. неравенство 170 ≤ ≤176 равносильно неравенству | – 173| ≤ 3:

;

в) квантиль случайной величины найдем из уравнения:

,

откуда .

По таблице прил. Б находим =0,524 и

= 6 + 173 = 6 ∙ 0,524+173 ≈ 176 (см).

Это означает, что 70% мужчин данной возрастной группы имеют рост до 176 см. 10%-я точка – это квантиль = 181 см (находится аналогично), т.е. 10% мужчин имеют рост не менее 181 см;

г) практически достоверно, что рост мужчин данной возрас­тной группы заключен в границах от = 173–3∙6 = 155(см) до

= 173 + 3 ∙ 6 = 191 (см), т.е. 155(см) ≤ ≤191 (см).

Пример 15. Проведенное исследование показало, что вклады населения в данном банке могут быть описаны случайной величиной , распределенной по логнормальному закону с параметрами =530, =0,8.

Найти: а) средний размер вклада; б) долю вкладчиков, раз­мер вклада которых составляет не менее 1000 д.ед.; в) моду и медиану случайной величины и пояснить их смысл.

Решение: а) найдем средний размер вклада, т.е.

= (д.ед.);

б) доля вкладчиков, размер вклада которых составляет не менее 1000 д.ед., есть

.

При определении воспользуемся тем, что функция логнормального распределения случайной величины совпадает с функцией нормального распределения случайной величины , т.е.:

и

Теперь = 1 – 0,785 = 0,215;

Рис. 6.8

в) вычислим моду случайной величины :

, т.е. наиболее часто встреча­ющийся банковский вклад равен 280 д.ед. (точнее, наиболее часто встречающийся элементарный интервал с центром 280 д. ед., т.е. интервал (280 – , 280 + ) д. ед.).

Если исходить из вероятностного смысла параметра а логнормального распределения, то медиана , т.е. по­ловина вкладчиков имеют вклады до 530 д. ед, а другая поло­вина – сверх 530 д. ед.

Пример 16. Установлено, что время ремонта телевизоров есть случайная величина , распределенная по показательному закону. Определить вероятность того, что на ремонт телевизора потребуется не менее 20 дней, если среднее время ремонта теле­визоров составляет 15 дней. Найти плотность вероятности, функцию распределения и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х.

Решение: По условию математическое ожидание = 15, откуда параметр , и по формулам плотность вероятности и функция распределения имеют вид:

; ( ).

Искомую вероятность можно было найти, интегрируя плотность вероятности, т.е.

,

но проще это сделать, используя функцию распределения:

.

Осталось найти среднее квадратическое отклонение: для показательного распределения .

Пример 17. Поезда метрополитена идут регулярно с интервалом 2 мин. Пассажир выходит на платформу в случайный момент времени. Какова вероятность того, что ждать пассажиру придется не больше полминуты. Найти математическое ожида­ние и среднее квадратическое отклонение случайной величины – времени ожидания поезда.

Решение. Случайная величина – время ожидания поезда на временном (в минутах) отрезке [0;2] имеет равномерный закон распределения (рис. 6.9) с плотностью на отрезке .

Рис. 6.9

Поэтому вероятность того, что пассажиру придется ждать не бо­лее полминуты, равна

.

Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение равны

мин, ,

(мин).

Пример 18. Функция задана в виде:

Найти: а) значение постоянной , при которой функция будет плотностью вероятности некоторой случайной величины ;

б) выражение функции распределения ; в) вычислить вероятность того, что случайная величина примет значение на отрезке [2;3];

г) найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины .

Решение: а) для того чтобы была плотностью веро­ятности некоторой случайной величины Х, она должна быть не­отрицательна, т.е. или , откуда , и она должна удовлетворять свойству .

Следовательно,

Откуда ;

б) найдем по определению:

– если 1, то ;

– если >1, то .

Таким образом,

в) по формуле найдем

.

Вероятность можно было найти непосредственно как приращение функции распределения:

;

г) по формуле математического ожидания вычислим

.

Вычислим дисперсию . Вначале найдем

(вычисление интеграла аналогично приведенному выше).

Тогда .

Пример 19. Плотность вероятности непрерывной случайной величины Х задана в виде . Найти параметр С.

Решение. Воспользуемся равенством .

.

Отсюда найдем .

Пример 20. Имеется случайная величина ~ . Найти сим­метричный относительно математического ожидания интервал, в который с вероятностью попадет случайная величина.

Решение. Так как , то .

По таблице прил. Б находим значение , соответствующее полученному значению функции : . Учитывая то, что , определяем . Искомый интервал будет иметь вид (20-8,94;20+8,94) или (11,06; 28,94).