Тема 6. Законы распределения непрерывных случайных величин

Важнейшими для приложений являются непрерывные случайные величины.

Напомним, что случайная величина с непрерывной функцией распределения называется непрерывной.

6.1. Равномерный закон распределения

Определение. Непрерывная случайная величина имеет равномерный закон распределения на отрезке , если ее плотность вероятности постоянна на этом отрезке и равна нулю вне его, т.е.

Кривая распределения и график функции распределе­ния случайной величины приведены на рис. 6.1 и 6.2.

Рис. 6.1

Рис. 6.2

Теорема. Функция распределения случайной величины Х, распре­деленной по равномерному закону имеет вид

Ее математическое ожидание а дисперсия

Доказательство. При функция распределения ,

при ,

при очевидно, что .

Таким образом

Математическое ожидание случайной величины с учетом его механической интерпретации как центра массы равно абс­циссе середины отрезка, т.е. .

Тот же результат получается по формуле:

Равномерный закон распределения используется при анализе ошибок округления при проведении числовых расчетов (например, ошибка округления числа до целого распределена равномерно на отрезке ), в ряде задач массового обслуживания, при статистическом моделировании наблюдений, подчиненных данному распределению. Так, случайная величина Х, распре­деленная по равномерному закону на отрезке , называемая «случайным числом от 0 до 1», служит исходным материалом для получения случайных величин с любым законом распределения.

6.2. Показательный (экспоненциальный) закон распределения

Определение. Непрерывная случайная величина имеет показательный (экспоненциальный) закон распределения с пара­метром , если ее плотность вероятности имеет вид:

Кривая распределения и график функции распределения случайной величины приведены на рис. 6.3 и 6.4.

Рис. 6.3

Рис. 6.4

Теорема. Функция распределения случайной величины Х, распре­деленной по показательному (экспоненциальному) закону, имеет вид:

ее математическое ожидание , а дисперсия

Доказательство. При функция распреде­ления . При

Найдем математическое ожида­ние случайной величины Х, используя при вычислении метод интег­рирования по частям:

Для нахождения дисперсии вначале найдем

с учетом того, что во втором слагаемом несобственный интеграл есть . Тогда

Из доказанной теоремы следует, что для случайной величины, распределенной по показательному закону, математическое ожи­дание равно среднему квадратическому отклонению, т.е.

Можно доказать , а .

Показательный закон распределения играет большую роль в теории массового обслуживания и теории надежности. Так, на­пример, интервал времени T между двумя соседними событиями и простейшем потоке событий имеет показательное распределение с па­раметром — интенсивностью потока.

6.3. Нормальный закон распределения

Нормальный закон распределения наиболее часто встречает­ся на практике. Главная особенность, выделяющая его среди других законов, состоит в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие законы рас­пределения при весьма часто встречающихся типичных условиях.

Определение. Непрерывная случайная величина имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса) с параметрами и , если ее плотность вероятности имеет вид:

Термин «нормальный» не со­всем удачный. Многие признаки подчиняются нормальному закону, например рост человека, дальность полета снаряда и т.п. Но если ка­кой-либо признак подчиняется другому, отличному от нормально­го, закону распределения, то это вовсе не говорит о «ненормальнос­ти» явления, связанного с этим признаком.

Кривую нормального распределения будем называть нормальной кривой или кривой Гаусса.

Исследуем функцию :

а) ;

б) так как и ;

в) .

Прямая является горизонтальной асимптотой графика функции;

г) функция имеет экстремум в точке .

Так как то

, . 

Пусть – критическая точка.

Найдем :

следовательно – точка максимума.

;

д) график функции симметричен относительно прямой .

Найдем значения функции в точках , :

,

.

Сравниваем значения функции в точках и , убеждаемся, что они равны, следовательно график функции симметричен относительно прямой ;

е) график функции имеет точки перегиба: найденную приравняем нулю.

Т.к.  , то   если . Тогда и , при и .

.

Так как график симметричен относительно прямой, то

, .

Строим график.

Замечание. Установим влияние параметров и на вид этой нормальной кривой:

– изменение параметра не влияет на форму кривой, происходит только сдвиг кривой относительно оси ;

– изменение параметра влияет на форму кривой. Максимальное значение убывает, если увеличивается и наоборот (площадь все равно остается равной 1).

Можно заметить, что в выражении плотности нормального за­кона параметры обозначены буквами и , которыми мы обо­значаем математическое ожидание и дисперсию . Такое совпадение неслучайно. Рассмотрим теорему, устанавливающую теоретико-вероятностный смысл параметров нормального закона.

Теорема. Математическое ожидание случайной величины , распределенной по нормальному закону, равно параметру этого закона, т.е. , а ее дисперсия — параметру , т.е.

Математическое ожидание

Учли, что .

Тогда . Дисперсия или

Учли, что

Итак, .

Нормальный закон распределения случайной величины с параметрами , , т.е. называется стандартным или нормированным, а соответствующая нормальная кривая – стандартной или нормированной.

Теорема. Функция распределения случайной величины Х, распре­деленной по нормальному закону, выражается через функцию Лапласa ) по формуле:

Доказательство. .

Сделаем замену переменной, полагая получим при , поэтому

Первый интеграл

в силу четности подынтегральной функции и того, что интеграл Эйлера–Пуассона равен .

Второй интеграл по определению равен

Итак,

Геометрически функция распределения представляет собой площадь под нормальной кривой на интервале ( ).

Рассмотрим свойства случайной величины, распреде­ленной по нормальному закону:

а) вероятность попадания случайной величины Х, распределен­ной по нормальному закону, в интервал , вычисляется по формуле

где

Доказательство. Учитывая, что вероятность  есть приращение функции распределения на отрезке , получим

б) вероятность того, что отклонение случайной величины , распределенной по нормальному закону, от математического ожидания не превысит величину (по абсолютной величине), вычисляется по формуле:

,

где

Доказательство.  Учитывая первое свойство, а также свойство нечетности функции Лапласа, получим

где .

Вычислим вероятности при различных значениях (используем табл. прил. Б). Получим при

,

,

, .

Отсюда вытекает «правило трех сигм»:

Если случайная величина имеет нормальный закон распределе­ния с параметрами и , т.е. , то практически досто­верно, что ее значения заключены в интервале .

Нарушение «правила трех сигм», т.е. отклонение нормально распределенной случайной величины больше, чем на (по абсолютной величине), является событием практически невоз­можным, так как его вероятность весьма мала:

.

Найдем коэффициент асимметрии и эксцесс случайной вели­чины , распределенной по нормальному закону:

а) .

Преобразуем .

Итак, ;

б) .

Преобразуем .

Тогда .

Получили, что в силу симметрии нормальной кривой относи­тельно вертикальной прямой , проходящей через центр рас­пределения , коэффициент асимметрии нормального рас­пределения , эксцесс нормального распределения равен нулю и крутость других распределений определяется по отношению к нормальному.

В силу особенностей нормальный закон распределения занимает централь­ное место в теории и практике вероятностно-статистических ме­тодов. Большое теоретическое значение нормального закона со­стоит в том, что с его помощью получен ряд важных распреде­лений, рассматриваемых ниже.