Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники

Приходовский М.А.

Математика

Учебное пособие

(курс лекций)

1-й семестр

Часть 1

для специальности:

09.03.03 «прикладная информатика в экономике»

(группы 446-1 и 446-2)

Томск

ТУСУР

2016

Настоящее электронное учебное пособие составлено и скорректировано с учётом реального проведения лекций на ФСУ (профилирующая кафедра АСУ) в группах 446-1 и 446-2 осенью 2016 года.

Оглавление.

Часть 1 (сентябрь - октябрь)

Глава 1. МАТРИЦЫ.

§ 1. Действия над матрицами.

§ 2. Определители.

§ 3. Обратная матрица.

§ 4. Ранг матрицы.

§ 5. Элементы векторной алгебры.

Глава 2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.

§ 1. Введение, основные методы решения.

§ 2. Неоднородные системы с произвольной матрицей.

§ 3. Системы линейных однородных уравнений.

Глава 3. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ.

§ 1. Линейный оператор и его матрица

§ 2. Собственные векторы

§ 3. Квадратичные формы.

Глава 4. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.

§ 1. Прямая на плоскости

§ 2. Плоскость в пространстве

§ 3. Прямая в пространстве

§ 4. Кривые и поверхности

Часть 1 (ноябрь - декабрь)

Глава 5. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА.

§1. Множества и функции.

§2. Пределы.

§3. Бесконечно-малые и бесконечно-большие.

§4. Непрерывность.

Глава 6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.

§1. Введение, основные методы.

2. Частные производные и градиент.

§3. Уравнение касательной, формула Тейлора.

§4. Экстремумы и строение графика.

§5. Основные теоремы дифф. исчисления

ЛЕКЦИЯ № 1. 02.09.2016

Глава 1. Матрицы.

§ 1. Действия над матрицами.

Определение матрицы. Матрицей размера называется прямоугольная таблица, состоящая из чисел (либо других объектов, например, функций), содержащая m строк и n столбцов.

Каждый элемент обозначается , где это номер строки, в которой он расположен, а - номер столбца.

! Обратите внимание: количество строк - это то же самое, что количество элементов в столбце, а количество столбцов равно количеству элементов в строке (заметим, что от каждого элемента 1-й строки начинается столбец, то есть сколько чисел в строке, столько и столбцов).

Если , то есть матрица А имеет размер то она называется квадратной матрицей порядка n.

Примеры матриц из жизни:

1. Таблица результатов ЕГЭ по нескольким предметам в группе учеников.

2. Таблица расстояний между каждой парой из n городов.

Кратчайшее расстояние между городами:

	Томск	Новосибирск	Кемерово
Томск	0	205	144
Новосибирск	205	0	204
Кемерово	144	204	0

По главной диагонали 0 , потому что до этого же города расстояние равно 0.

3. Расписание занятий. День недели и номер пары, каждый элемент - номер аудитории в этот день в это время.

4. Шахматная доска, 64 элемента, квадратная матрица порядка 8.

Сложение и вычитание матриц размера .

Эти операции определяются поэлементно, то есть суммируется или вычитается каждая соответствующая пара элементов и .

Примеры:

+ = ; =

Умножение матрицы на константу определяется следующим образом. В матрице все элементы умножены на коэффициент , то есть равны .

Умножение двух матриц.

* Нужно вспомнить из школьного курса операцию скалярного произведения двух векторов.

Если есть 2 матрицы, одна размера , другая , то их размеры называются согласованными. Такие матрицы можно умножать друг на друга.

Операция умножения матриц определяется следующим образом. Мысленно разобьём первую матрицу на строки, вторую - на столбцы. Для каждой строки 1-й матрицы и каждого столлбца 2-й матрицы определено скалярное произведение. Всего существует всевозможных скалярных произведений строк (1-й матрицы) на столбцы (2-й матрицы). Именно из них и состоит произведение, это матрица размера

Пример: = .

Для матриц размеров и существуют оба произведения, и . Но произведение в примере выше оказалось бы не матрицей 2 порядка, а 3 порядка, то есть из 9 элементов.

Умножение квадратных матриц.

В этом случае размеры всегда согласованы, и произведение - это тоже матрица .

2 примера: = , =

обратите внимание, что даже для квадратных матриц далеко не всегда выполняется закон коммутативности, здесь .

* Существует такая матрица, которая во множестве матриц обладает свойством, аналогичным 1 во множестве чисел, то есть . Но как мы видели только что, матрица из всех единиц этим свойством не обладает, а вот если единицы только по главной диагонали, а вокруг - нули, то такое свойство будет выполняться.

Единичная матрица Е. Строение: , при .

2-го порядка: , 3 порядка:

= и = .

(Аналог среди матриц первого порядка: число 1).

Свойства действий над матрицами:

коммутативность сложения

ассоциативность сложения

и дистрибутивность

ассоциативность умножения

и

.

О взаимосвязи матрицы с системой векторов.

Если в плоскости 2 вектора, т.е. каждый имеет по 2 координаты, можно построить матрицу 2 порядка. Аналогично, если дано 3 вектора в пространстве - можно построить матрицу 3 порядка.

Матрица, соответствующая этой векторной системе .