Раздел 3. Пределы

Определенные выражения при нахождении пределов: ; ; ; ; ;

Неопределенности: , , , .

Раскрытие неопределенностей.

1. . Разделить числитель и знаменатель дроби на наивысшую степень неизвестного, содержащуюся в

тие неопределенностей.0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 дроби. При этом при

2. . Разность квадратных корней умножить и разделить на их сумму; разность дробей привести к общему знаменателю; неопределенность приводится к неопределенности .

3. . a). Многочлены в рациональной дроби разложить на множители и сократить на множитель, дающий нуль. б). Разность квадратных корней умножить и разделить на их сумму, а разность кубических корней – на неполный квадрат суммы или сделать замену. в). Первый замечательный предел ; ; ; .

Сравнение бесконечно малых в точке . Эквивалентные бесконечно малые: ; ; ; ; ; ; ; ; ; .

Второй замечательный предел (неопределенность ). ; .

Если , , то .

Раздел 4. Производная. Дифференциал.

Производная от функции в точке :

.

Дифференциал функции : .

Правила дифференцирования.

1. . 2. . 3. . 4. .

Таблица производных основных элементарных функций.

1. . 2. ; ; ; . 3. ; . 4. ; . 5. .

6. . 7. . 8. . 9. .

10. . 11. . 12. .

Производная сложной функции .

.

Логарифмическая производная: .

Вторая производная: .

Производная го порядка: .

Производная показательно-степенной функции: .

Производная неявной функции.

Если функция задается соотношением , то говорят, что она задана неявно. При нахождении производной необходимо помнить, что является функцией аргумента .

Пример. .

Производная параметрически заданной функции.

Параметрически заданная функция : , .

Ее производная: .

Вторая производная параметрически заданной функции: = .

Раздел 5. Приложения производной.

1. Правило Лопиталя.

Если предел представляет собой неопределенность или , и существуют производные функций и в окрестностях точки , то . Если производные обладают теми же свойствами, что и функции, то возможно повторное применение правила:

, и т.д.

2. Монотонность функции. Экстремумы. Выпуклость графика функции. Асимптоты.

Монотонность: функция возрастает (убывает), если Точки, подозрительные на экстремум (критические): не существует. 1 достаточное условие существования экстремума. Если при переходе через критическую точку производная меняет знак с плюса на минус (с минуса на плюс), то в этой точке существует максимум (минимум) функции. 2 достаточное условие существования экстремума. Если в критической точке вторая производная функции ( ), то в этой точке существует максимум (минимум) функции. Выпуклость вверх (вниз) на , если на ( ). Точки, подозрительные на перегиб: не существует. Достаточное условие существования перегиба. Если при переходе через точку, подозрительную на перегиб, вторая производная меняет знак, то в этой точке перегиб - изменение направления выпуклости функции – существует. Вертикальные асимптоты. Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции , если и (или) . Наклонные асимптоты графика : где , Горизонтальная асимптота при : Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке находятся либо в критических точках, принадлежащих отрезку, либо на концах отрезка.