5. Нелинейные операции над векторами.

1. Скалярное произведение векторов – число ; 1). проекция вектора на вектор ; 2). если , то .

Свойства: 1). ; 2). ; 3). скалярный квадрат , тогда ; 4). ; 5). . Условие перпендикулярности векторов: .

Угол между векторами:

.

2. Векторное произведение - вектор , определяемый условиями: 1). ; 2). перпендикулярен и , и ; 3). вектор направлен так, что с его конца переход от первого сомножителя ко второму виден как переход против часовой стрелки.

В координатах, если , , то

. .

Свойства векторного произведения: 1). ; 2). ; 3). ; 4). , , ; , , ; , , . Геометрически модуль векторного произведения – площадь параллелограмма: .

3. Смешанное произведение векторов – число .

Если ; , то .

Геометрически – объемы параллелепипеда и пирамиды: ,

Условие компланарности векторов: .

Раздел 2. Аналитическая геометрия.

1. Простейшие задачи на плоскости.

Уравнение линии на плоскости .

Расстояние между двумя точками : .

Площадь треугольника ABC с вершинами в точках :

.

Координаты точки , делящий отрезок в данном отношении :

.

Координаты середины отрезка ( ):

.

Полярные координаты: , ; , , .

2. Прямая на плоскости.

Уравнения прямой:

общее: , вектор перпендикулярен прямой;

с угловым коэффициентом: ;

проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом : ; проходящей через две точки : ;

в отрезках: .

Угол между двумя прямыми, заданными: общими уравнениями и :

;

уравнениями с угловым коэффициентом , :

.

Условия параллельности прямых: , .

Условия перпендикулярности прямых: , .

Расстояние от точки до прямой :

.

3. Кривые 2 порядка.

Уравнение второго порядка задает: окружность при ; эллипс при ; гиперболу при ; параболу, если или . Уравнения окружности: с центром в т. и радиусом : ; с центром в т. : . Каноническое уравнение эллипса: Каноническое уравнение гиперболы: Канонические уравнения параболы:

4. Плоскость в пространстве.

Уравнения плоскости:

проходящей через точку перпендикулярно вектору нормали :

;

общее:

; - вектор нормали;

в отрезках:

;

проходящей через три данные точки :

.

Угол между плоскостями :

.

Условие параллельности плоскостей: .

Условие перпендикулярности плоскостей .

Расстояние от точки до плоскости :

.

5. Прямая в пространстве.

Уравнения прямой:

как линии пересечения двух плоскостей:

проходящей через точку параллельно вектору : - канонические уравнения прямой;

параметрические:

проходящей через две данные точки :

.

Угол между прямыми:

.

Условие параллельности прямых: .

Условие перпендикулярности прямых: .

Расстояние от точки до прямой :

.

6. Взаимное расположение плоскости и прямой в пространстве.

Условие параллельности прямой и плоскости :

.

Условие перпендикулярности прямой и плоскости:

.

Угол между прямой и плоскостью:

.