Уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом
Направление любой прямой характеризуется ее угловым коэффициентом k, который определяется как тангенс угла наклона этой прямой к оси Ох, т.е.
.
Исключение составляет лишь прямая, перпендикулярная оси Ох.
Из общего уравнения прямой угловой коэффициент k равен
.
Если прямая задана
двумя точками
и
,
то угловой коэффициент k
вычисляется
по формуле
.
(11)
Уравнение прямой, имеющей угловой коэффициент k и пересекающей ось Оу в точке с ординатой b,записывается в виде
у= kх+ b. (12)
Пример. Если α=450,
b=7,
то
,
и уравнение прямой имеет вид
.
Пример. Написать уравнение прямой с угловым коэффициентом k=3, которая проходит через точку М (-1; 8).
По формуле (12) запишем условие: 8=3·(-1)+ b b=11. Тогда уравнение прямой имеет вид у= 3х+ 11.
Уравнение прямой,
проходящей через точку М(х0;у0)
с заданным
углом наклона
,
можно записать в другом виде
.
(13)
Уравнение прямой в отрезках
Если в общем
уравнении прямой (10)
,
то прямая отсекает на координатных осях
отрезки
.
Тогда уравнение прямой в отрезках имеет
вид
.
(14)
Пример. Записать
уравнение прямой
в отрезках.
Перепишем это
уравнение
и
разделим его на 10, тогда уравнение примет
вид
.
Уравнение прямой, проходящей через две данные точки
Две точки определяют единственную прямую.
Пример. Написать уравнение прямой , проходящей через точки А(2; 3) и В(4; 5). Так как прямая у=kх+b проходит одновременно через две точки, то задача может быть решена с помощью системы линейных уравнений
т.е. уравнение
имеет вид у=
х+1.
Для написания уравнение прямой, проходящей через две данные точки и можно использовать формулу
.
(15)
Пример. Рассмотрим предыдущую задачу. По формуле (15) запишем
.
Расстояние от точки до прямой
Расстояние от точки М(х0;у0) до прямой Ах+Ву+С=0 равно
.
(16)
Пример. Найти
расстояние от точки К(2;
6) до прямой
.
Из общего уравнения прямой А=3, В=4, С=5. По формуле (16) находим
.
Угол между прямыми
Рассмотрим на
плоскости две прямые
и
с углами наклона к оси Ох
соответственно
и
.
Углом между прямыми считается наименьший
из углов, полученных при их пересечении.
Тангенс угла α между прямыми равен
,
выразим его через угловые коэффициенты данных прямых
.
(17)
Пример. Найти тангенс угла между прямыми у=5х-7 и у=3х+1.
По формуле (17)
запишем
.
Взаимное расположение прямых
Если две прямые лежат на плоскости, то возможны три случая их взаимного расположения: 1) пересекаются (т.е. имеют общую одну точку); 2) параллельны (не пересекаются и не совпадают); 3) совпадают.
Прямые совпадают в случае, когда соответствующие коэффициенты в уравнениях прямых совпадают или пропорциональны.
.
Если прямые
и
параллельны, то
=
,
следовательно k1=k2,
т.е.параллельные прямые имеют равные
угловые коэффициенты.
Условие параллельности прямых
k1=k2
или
(18)
Если прямые Ах1+Ву1+С1=0 и Ах2+Ву2+С2=0 пересекаются в некоторой точке М(х; у), то ее координаты удовлетворяют обоим уравнениям. Следовательно, чтобы найти координаты точки М, надо решить систему уравнений.
Прямые пересекаются, если имеют различные угловые коэффициенты.
,
т.е.
.
Если прямые
и
перпендикулярны, то угол межу ними равен
900,
т.е.
.
Тогда
или
.
Условие перпендикулярности прямых
. (19)
Пример. Написать уравнения прямых, проходящих через начало координат а) параллельно и б) перпендикулярно прямой у=2x – 4.
а) По формуле (18)
k1=k2=2.
Тогда по формуле (13)
или . у=2x.
б) По формуле (19)
.
Тогда
или у=
–0,5x.