8. Нахождение обратной матрицы.

Определение. Матрица В называется обратной по отношению к матрице А, если произведения АВ и ВА равны единичной матрице: АВ= ВА=Е.

Матрицу, обратную по отношению к матрице А, принято обозначать А^-1, т.е. А·А^-1=Е.

Теорема. Каждая невырожденная квадратная матрица А (определитель которой ) имеет единственную обратную матрицу А^-1=В, элементы которой находятся по формуле

.

= А^Т

Алгоритм нахождения обратной матрицы А^-1:

1. Вычислить определитель ∆ матрицы А ( ).

2. Каждый элемент матрицы А заменить его алгебраическим дополнением, т.е. составить матрицу (A_ij).

3. Транспонировать матрицу (A_ij), т.е. записать матрицу (A_ji).

4. Матрицу (A_ji) умножить на .

Пример. Найти матрицу, обратную матрице .

Определитель равен 0.

, А₁₂= - 6, А₁₃=3, А₂₁=-4, А₂₂=2, А₂₃=-1, А₃₁= 2, А₃₂=-1, А₃₃=-4.

, В^Т= .

А^-1=В· , т.е. А^-1= = .

9. Нахождение ранга матрицы.

Определение. Рангом матрицы называется наибольший порядок отличного от нуля определителя, порожденного данной матрицей.

Пример.

А= , т.е. ранг r(А)=2

(количество элементов, отличных от нуля, примыкающих к гипотенузе нулевого треугольника).

Упражнения

Выполните действия:

1) , 2) ,

3) , 4) ,

5) , 6) ,

7) .

8) Найдите матрицу 2А+5В, если , .

9) Найдите матрицу 3А -2В, если .

Найдите произведение АВ и ВА, если

10) .

11) .

12) Найдите А², А³, если .

13) Найдите матрицу 2А²+3А+5Е, если .

14) Определить ранг матрицы: а) А= ; б) .

Запишите транспонированную матрицу А^Т к данной матрице А:

15) ; 16) .

Найдите обратную матрицу к матрице А и проверьте выполнение равенства А·А^-1=Е., если

17) ; 18) ;

19) , 20) .

2. Системы линейных уравнений

Равенство, содержащее неизвестную величину, называется уравнением.

Значение неизвестной величины, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство, называется корнем уравнения. Вид уравнения зависит от вида выражения. Вид целых уравнений определяется по степени старшего члена уравнения.

Например, 3х +2=0 –линейное уравнение, а – кубическое.

Дана система т линейных уравнений с п неизвестными

(3)

Решением этой системы называется совокупность п чисел , которые при подстановки вместо неизвестных в уравнения, обращают их в верные числовые равенства (тождества). Решить систему уравнений – значит найти все ее решения.

Коэффициенты системы линейных уравнений можно записать в виде таблицы, которая называется матрицей.

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Если же система не имеет ни одного решения, то она называется несовместной. Совместная система называется определенной, если она имеет только одно решение, и неопределенной, если она имеет больше одного решения.

Матрицы

и (4)

называются соответственно матрицей и расширенной матрицей системы (3).

Рассмотрим методы решения систем линейных уравнений с несколькими переменными.