Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Пермский государственный педагогический университет»

И.В. Мусихина

Математика

Пермь ПГПУ

2009

УДК ББК

П

Рецензенты:

М Мусихина И.В. Математика: учебно-методическое пособие для студентов факультета физической подготовки. Часть 1– Пермь: ПГПУ, 2009. – 47 с.

Пособие содержит краткие теоретические сведения, упражнения и задания для самостоятельной решения по темам «Линейная алгебра» и «Аналитическая геометрия».

Для студентов специальностей 032102.65 «Физическая культура для лиц с отклонениями в состоянии здоровья (Адаптивная физическая культура)», 100103 «Социально-культурный сервис и туризм» факультета физической подготовки Пермского государственного педагогического университета.

УДК ….

ББК………

Печатается по решению редакционно-издательского отдела Пермского государственного педагогического университета.

ISBN ?

© Пермский государственный педагогический университет, 2008

© Мусихина И.В., 2008

1. Линейная алгебра

1. Матрицы и определители

Определение. Таблица чисел вида

, где i=1, 2, 3, …m; j= 1, 2, 3, …n;

состоящая из m строк и n столбцов, называется матрицей размера m× n.

Каждый элемент матрицы имеет двойной индекс: , где i – номер строки, j – номер столбца. Элементы, индекс которых состоит из одинаковых цифр, образуют главную диагональ. Например, а₁₁ и а₂₂.

Если m≠n, то матрица прямоугольная. Если m=1, n>1, то рассматривают однострочную матрицу , которую называют матрицей-строкой. Если же m>1, а n=1, то говорят об одностолбцовой матрице, которую называют матрицей-столбцом или вектором.

Если количество строк равно количеству столбцов (m=n), то матрицу называют квадратной. Число ее строк или столбцов называют порядком квадратной матрицы.

Например, – квадратная матрица второго порядка.

Матрица, в которой все элементы равны нулю, называется нулевой матрицей.

Например, – нулевая матрица второго порядка.

Матрица, в которой все элементы, кроме главной диагонали, равны нулю, называется диагональной. Диагональная матрица, все элементы которой равны 1, называется единичной

Например, – единичная матрица третьего порядка.

Две матрицы А и В называют равными (А=В), если они одинакового размера (т.е. имеют одинаковое число строк и одинаковое число столбцов) и их соответствующие элементы равны.

Например, если

и ,

, , , , то А=В.

Порядком определителя называется число столбцов (строк) квадратной матрицы.

Определение. Определитель второго порядка, соответствующий матрице , определяется равенством

. (1)

Пример. .

Определение. Определитель третьего порядка, соответствующий таблице элементов , определяется равенством

. (2)

Чтобы запомнить, какие произведения в правой части следует писать со знаком «+», какие – со знаком «-» применяют правило, называемое «правилом треугольника».

Пример. По формуле (2)

.

Иногда применяют следующую схему: справа приписывают два первых столбца, со знаком «+» берутся три произведения элементов, стоящих на главной и параллельной ей диагоналях, и со знаком «-» три произведения, стоящих на других диагоналях.

Минором М_ik называется определитель (п-1)-го порядка, полученный из основного определителя, вычеркиванием i-той строки и k-того столбца.

Так минором данного элемента определителя третьего порядка называется определитель второго порядка, который получится, если в исходном определителе вычеркнуть строку и столбец, содержащие данный элемент.

Например, для элемента с₂ определителя третьего порядка – это .

Алгебраическим дополнением данного элемента называется его минор, умноженный на (-1)^т, где т – сумма номеров строки и столбца, содержащих данный элемент.

Например, алгебраическое дополнение для элемента с₂ (вторая строка, третий столбец) определителя третьего порядка равно

= .

Таким образом, знак, который при этом приписывается минору соответствующего элемента определителя, определяется следующей таблицей:

.

Определение. Определителем квадратной матрицы п-го порядка называется число, равное сумме парных произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

∆= .

Например, определитель третьего порядка равен сумме произведений элементов любой строки или столбца на их алгебраические дополнения.

Пример.