3. Динамика вращательного движения твердого тела
Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси
где
– момент инерции тела;
– угловое ускорение.
Момент инерции твердого тела
где
– расстояние элемента массы
от оси вращения.
Момент инерции твердого тела в интегральном виде
.
Момент инерции материальной точки
.
Момент инерции однородного стержня относительно оси, проходящей через его центр масс перпендикулярно стержню,
Момент инерции однородного стержня относительно оси, проходящей через конец стержня перпендикулярно стержню,
Момент инерции однородного диска (цилиндра) относительно оси, проходящей через центр диска (цилиндра) перпендикулярно плоскости диска,
Момент инерции однородного шара относительно оси, проходящей через центр шара,
.
Теорема Штейнера:
,
где
– момент инерции относительно оси,
проходящей через центр масс тела
параллельно заданной оси;
– расстояние между осями.
Закон сохранения момента импульса
,
где
– момент инерции и угловая скорость
-го
тела, входящего в систему.
Работа момента силы
где – угол поворота.
Кинетическая энергия вращающегося тела
Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости без скольжения,
,
где
– кинетическая энергия поступательного
движения тела;
– скорость центра масс тела;
– кинетическая энергия вращательного
движения тела вокруг оси, проходящей
через центр масс тела.
4. Механические колебания
Дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний материальной точки
где – смещение материальной точки от положения равновесия,
ускорение
материальной точки,
- циклическая частота колебаний,
– коэффициент квазиупругой (возвращающей)
силы;
– масса точки.
Уравнение свободных незатухающих гармонических колебаний точки
где
– амплитуда колебаний,
– начальная фаза,
циклическая
частота (
– период колебаний).
Дифференциальное уравнение затухающих колебаний
где
– коэффициент затухания (
– коэффициент сопротивления);
– собственная циклическая частота.
Уравнение затухающих
колебаний
где
– время, в течение которого амплитуда
уменьшается в
раз (время релаксации).
Логарифмический
декремент затухания
где
и
– амплитуды двух последовательных
колебаний, отстоящих по времени друг
от друга на период.
Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний
где
(
– амплитуда периодической силы).
Амплитуда вынужденных колебаний
Резонансная амплитуда и частота
Полная энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания,
Период колебаний тела, подвешенного на пружине,
где – масса тела, – жесткость пружины.
Период колебаний математического маятника
где
– длина маятника,
– ускорение свободного падения.
Период колебаний физического маятника
где
– момент инерции тела относительно оси
колебаний;
– расстояние центра масс маятника от
оси колебаний.
Амплитуда
результирующего колебания при сложении
двух колебаний с одинаковыми частотами,
происходящих по одной прямой,
где
и
– амплитуды составляющих колебаний;
и
– начальные фазы.
Начальная фаза результирующего колебания при сложении двух колебаний с одинаковыми частотам, происходящими по одной прямой,
Уравнение траектории
точки, участвующей в двух взаимно
перпендикулярных колебаниях с амплитудами
и
и начальными фазами
и
,
Если
,
уравнение траектории имеет вид
т.е. точка движется
по эллипсу, оси которого совпадают с
осями координат
.