3.2 Расчёт погрешности при равноускоренном движении объекта
Предположим, что объект движется равноускорено с постоянным курсом. Считаем, что вектор скорости объекта лежит в его продольной плоскости. Это значит, что уравнения движения, получат вид:
+
εβ = –
ε
,
+ εα = 0. (23)
В соответствии с заданием, набор скорости происходит за время τ = 16 с, при этом основание развивает максимальную скорость в 6,68 м/с. Отсюда найдём максимальное действие ускорения:
Wη
max
=
= 0.41 м/с2
Уравнения, описывающие поведение ГВ с пропорциональной коррекцией при равноускоренном движении с постоянным курсом, будут иметь вид:
β = – (1 – е –εt) при t ≤ τ,
β = е –εt (1 – е –ετ) при t > τ. (24)
С учётом уже полученных значений запишем:
β(t)
= –
(1
– 2,71 –0,045*t),
β(t)
=
2,71–0,045*t
(1 – 2,71 –0,045*16).
Рисунок 9 – График зависимости β(t).
Из графика видно, что действие ускорения прекращается по истечению 16 секунд. βmax в этом случае равно –0.021рад.
3.3 Расчёт динамической погрешности при циркуляции основания
Будем считать, что объект совершает вираж. При этом скорость постоянна, угловая скорость циркуляции постоянна. Тогда ωξ = – υωв. Уравнения движения ГВ для решения данной задачи:
+ εβ – ωв = 0,
+
εα
+ ωвβ
= – ε
.
(25)
Угловая скорость циркуляции определяется следующим образом:
ωв
=
.
(26)
где r – радиус циркуляции.
Подставляя в предыдущее выражения заданные значения, получим:
ωв
=
= 0,107 рад/с.
α
= –
(ε
– Аe–εt
cos(ωвt
+ μ)),
β = – (ωв – Аe–εt sin(ωвt + μ)). (27)
где:
А =
;
μ
= arctg
.
Углы отклонения гироскопа от вертикали содержат постоянные и затухающие колебательные составляющие. Постоянные составляющие определяются выражениями:
α0
= –
,
β0
= –
.
(28)
Для того, чтобы выяснить, какой вид имеет траектория движения вершины гироскопа на фазовой плоскости, целесообразно ввести новые переменные α1 = α – α0, β = β1 – β0. В итоге выражения (27) получат новый вид:
α1 = – Аe–εt cos(ωвt + μ),
β1 = – Аe–εt sin(ωвt + μ). (29)
С учётом некоторых простых преобразований получаем выражение для логарифмической спирали:
ρ
=
.
(30)
Из выражения (27) можно также определить максимальные значения виражных погрешностей, которые будут иметь вид:
αmax = – (ε + Аe–εt1),
βmax = – (ωв + Аe–εt2). (31)
где:
t1
=
;
t2
=
.
Рисунок 10 – График зависимости α(t) при левом вираже.
Рисунок 11 – График зависимости β(t) при левом вираже.
Рисунок 12 – График отношения β(t) к α(t) при левом вираже.
αmax = –0.0239 рад, βmax = –0.0323 рад,
αуст = –0,0107 рад, βуст = –0.0255 рад.
Рисунок 13 – График зависимости α(t) при правом вираже.
Рисунок 14 – График зависимости β(t) при правом вираже.
Рисунок 15 – График отношения β(t) к α(t) при правом вираже.
αmax = 0.0239 рад, βmax = 0.0323 рад,
αуст = 0,0107 рад, βуст = 0.0255 рад.