Вопрос 15 Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний (механических) и его решение. Резонанс.

Колебания, возникающие под действи­ем внешней периодически изменяющейся силы или внешней периодически изменя­ющейся э.д.с., называются соответствен­но вынужденными механическими

Закон движения для пружинного маятника запи­шется в виде

Используя ₀=k/m и =r/(2m), -коэффициент затухания, придем к уравнению

147.2 Можно свести к линейному неоднородному диффе­ренциальному уравнению

(х₀ в случае механиче­ских колебаний равно F₀/m)

Решение уравнения (147.5) равно сум­ме общего решения однородного уравнения и частного решения не­однородного уравнения. Частное решение найдем в комплексной форме. Заменим правую часть уравнения (147.5) на комплексную величину х₀е^it:

Частное решение этого уравнения будем искать в виде s=s₀^it.

Подставляя выражение для s и его про­изводных в уравнение (147.6), получим

Так как это равенство должно быть справедливым для всех моментов времени, то время t из него должно исключаться. Отсюда следует, что =. Учитывая это, из уравнения (147.7) найдем величину so и умножим ее числитель и знаменатель на (²₀--2i):

Это комплексное число удобно предста­вить в экспоненциальной форме:

Следовательно, решение уравнения (147.6) в комплексной форме примет вид s=Aе^(iit-)

Его вещественная часть, являющаяся ре­шением уравнения (147.5), равна s=Acos(t-), (147.10)

Таким образом, частное решение не­однородного уравнения (147.5) имеет вид

Решение уравнения (147.5) равно сум­ме общего решения однородного урав­нения

Графически вынужден­ные колебания.

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближе­нии частоты вынуждающей силы (частоты вынуждающего переменного напряжения) к частоте _рез называется резонансом (со­ответственно механическим или электриче­ским). При ²<<² значение _рез практиче­ски совпадает с собственной частотой ₀ колебательной системы.

Подставляя (148.1) в формулу (147.8), получим

зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты при различных значениях

16) Колебания, возникающие под действи­ем внешней периодически изменяющейся силы или внешней периодически изменя­ющейся э.д.с., называются соответствен­но вынужденными механическими и вы­нужденными электромагнитными колеба­ниями.

Если рассматривать электрический ко­лебательный контур, то роль X(t) играет подводимая к контуру внешняя периодиче­ски изменяющаяся по гармоническому за­кону э.д.с. или переменное напряжение

U=U_mcost. (147.3)

(143.2) с учетом (147.3) можно записать в виде

Используя ₀=1/LC, (143.4) и коэффициент затухания- =R/(2L), (146.11) , придем

к уравнению . Колебания, возникающие под действи­ем внешней периодически изменяющейся силы или внешней периодически изменя­ющейся э.д.с., называются соответствен­но вынужденными механическими и вы­нужденными электромагнитными колеба­ниями.

(147.4) можно свести к линейному неоднородному диффе­ренциальному уравнению применяя впоследствии его решение для вынужденных колебаний конкретной фи­зической природы (х₀ в случае элек­тромагнитных — U_m/L). Решение уравнения (147.5) равно сум­ме общего решения s=A₀е^-tсоs(t+) (146.5) однородного уравнения (146.1) и частного решения не­однородного уравнения. Частное решение найдем в комплексной форме.

Частное решение этого уравнения будем искать в виде

s=s₀^it. Подставляя выражение для s и его про­изводных в уравнение (147.6), получим

=. найдем величину so и умножим ее числитель и знаменатель на (²₀--2i):

Это комплексное число удобно предста­вить в экспоненциальной форме:

решение уравнения (147.6) в комплексной форме примет вид

s=Aе^(iit-) , s=Acos(t-), (147.10)

Решение уравнения (147.5) равно сум­ме общего решения однородного урав­нения

для электромагнитных колеба­ний, учитывая, что ²₀=1/(LC) (см. (143.4)) и =R/(2L) (см. (146.11)):

Продифференцировав Q=Q_mcos(t-) по t, найдем силу тока в контуре при установившихся колебаниях:

Билет 17 Волновой процесс: механизм образования механических волн в упругой среде. Уравнение плоской и сферической волн. Волновое уравнение.

Если в каком-либо месте упругой среды (твердой, жидкой или газообразной) возбудить колебания ее частиц, то вследствие взаимодействия между частицами это колебание будет распространяться в среде от частицы к частице с некоторой скоростью. Процесс распространения колебаний в сплошной среде называется волновым процессом (или волной). При распростра­нении волны частицы среды не движутся вместе с волной, а колеблются около своих положений равновесия. Вместе с волной от частицы к частице среды передаются лишь состояние колебательного движения и его энергия. Поэтому основным свойством всех волн, независимо от их природы, яв­ляется перенос энергии без переноса ве­щества. Упругими (или механическими) во­лнами называются механические возму­щения, распространяющиеся в упругой среде. Упругие волны бывают продольные и поперечные. В продольных волнах части­цы среды колеблются в направлении рас­пространения волны, в поперечных — в плоскостях, перпендикулярных направ­лению распространения волны.

Длина волны =vT,

В общем случае уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль поло­жительного направления оси х в среде, не поглощающей энергию, имеет вид

(x,t)=Acos[(t -х/v)+₀], (154.2)

где А=const — амплитуда волны,  — циклическая частота волны, ₀ — началь­ная фаза колебаний, определяемая в об­щем случае выбором начал отсчета х и t, [(t-x/v)+₀]—фаза плоской волны.

Для характеристики волн использует­ся волновое число

k=2/=2/vT=/v. (154.3) Учитывая (154.3), уравнению (154.2) можно придать вид(x,t)=Acos(t-kх+₀). (154.4)

Уравнение волны, распространяющейся вдоль отрицательного направления оси х, отличается от (154.4) только знаком чле­на kx.

Основываясь на формуле Эйлера (140.7), уравнение плоской волны можно записать в виде

(x,t)=Ae^{i(t-kx+0)} Повторяя ход рассуждений для плоской волны, можно доказать, что урав­нение сферической волны — волны, волновые поверхности которой имеют вид кон­центрических сфер, записывается как (r,t)=A₀/rcos(t-kr+₀), (154.7)где r — расстояние от центра волны до рассматриваемой точки среды. В случае сферической волны даже в среде, не по­глощающей энергию, амплитуда колеба­ний не остается постоянной, а убывает с расстоянием по закону 1/r. Уравнение (154.7) справедливо лишь для r, значи­тельно превышающих размеры источника (тогда источник колебаний можно считать точечным).

Распространение волн в однородной изотропной среде в общем случае описы­вается волновым уравнением — диффе­ренциальным уравнением в частных про­изводных

где v — фазовая скорость, =д²/дx² +д²/дy²+д²/дz² — оператор Лапласа. Решением уравнения (154.9) является урав­нение любой волны.

Билет 18)Поток энергии в волновых процессах

Бегущими волнами называются волны, ко­торые переносят в пространстве энергию. Перенос энергии в волнах количественно характеризуется вектором плотности по­тока энергии. Этот вектор для упругих волн называется вектором Умова (по име­ни русского ученого Н. А. Умова (1846— 1915), решившего задачу о движении энергии в среде). Направление вектора Умова совпадает с направлением переноса энергии, а его модуль равен энергии, пере­носимой волной за единицу времени через единичную площадку, расположенную перпендикулярно направлению распро­странения волны. Для вывода уравнения бегущей во­лны — зависимости смещения колеблю­щейся частицы от координат и времени — рассмотрим плоскую волну, предполагая, что колебания носят гармонический ха­рактер, а ось х совпадает с направлением распространения волны (рис. 220). В дан­ном случае волновые поверхности перпен­дикулярны оси х, а так как все точки волновой поверхности колеблются одина­ково, то смещение  будет зависеть только от х и t, т. е. =(х, t).На рис. 220 рассмотрим некоторую частицу среды В, находящуюся от источ­ника колебаний О на расстоянии х. Если колебания точек, лежащих в плоскости х=0, описываются функцией (0, t)=Аcost, то частица среды В колеблется по тому же закону, но ее колебания будут отставать по времени от колебаний источ­ника на т, так как для прохождения во­лной расстояния х требуется время. =x/v, где v — скорость распространения волны. Тогда уравнение колебаний частиц, лежащих в плоскости х, имеет вид (x,t)=Acos(t-x/v), (154.1)откуда следует, что (х, t) является не только периодической функцией времени, но и периодической функцией координаты х. Уравнение (154.1) есть уравнение бегу­щей волны. Если плоская волна распро­страняется в противоположном направле нии, то (х, t)=A cos(t+x/v).В общем случае уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль поло­жительного направления оси х в среде, не поглощающей энергию, имеет вид

(x,t)=Acos[(t -х/v)+₀], (154.2)где А=const — амплитуда волны,  — циклическая частота волны, ₀ — началь­ная фаза колебаний, определяемая в об­щем случае выбором начал отсчета х и t, [(t-x/v)+₀]—фаза плоской волны.

19)Дифференциальное уравнение электромагнитной волны. Можно по­казать, что для однородной и изотропной среды вдали от зарядов и токов, создаю­щих электромагнитное поле, из уравнений Максвелла следует, что векторы напряженностей Е и Н переменного электро­магнитного поля удовлетворяют волново­му уравнению типа (154.9):

— оператор Лапласа, v — фазовая ско­рость.

Всякая функция, удовлетворяющая уравнениям (162.1) и (162.2), описывает некоторую волну. Следовательно, электро­магнитные поля действительно могут су­ществовать в виде электромагнитных волн. Фазовая скорость электромагнитных волн определяется выражением

где с= 1/₀₀, ₀ и ₀ — соответственно

электрическая и магнитная постоянные,  и  — соответственно электрическая и магнитная проницаемости среды. Следствием теории Максвелла являет­ся поперечность электромагнитных волн: векторы Е и Н напряженностей электриче­ского и магнитного полей волны взаимно перпендикулярны (на рис. 227 показана моментальная «фотография» плоской электромагнитной волны) и лежат в плос­кости, перпендикулярной вектору v скоро­сти распространения волны, причем векто­ры Е, Н и v образуют правовинтовую систему. Из уравнений Максвелла следует также, что в электромагнитной волне век­торы Е и Н всегда колеблются в одина­ковых фазах (см. рис. 227), причем мгно­венные значения £ и Я в любой точке связаны соотношением

₀=₀Н. (162.4)Следовательно, E и H одновременно достигают максимума, одновременно об­ращаются в нуль и т. д.От волновых уравнений (162.1) и (162.2) можно перейти к уравнениям

где соответственно индексы у и z при Е н Н подчеркивают лишь то, что векторыЕ и Н направлены вдоль взаимно перпен­дикулярных осей у и z.

Уравнениям (162.5) и (162.6) удов­летворяют, в частности, плоские монохро­матические электромагнитные волны (электромагнитные волны одной строго определенной частоты), описываемые уравнениями

Е_у=Е₀cos(t-kx+), (162.7) H_z= H₀cos(t-kx+), (162.8)где е₀ и Н₀ — соответственно амплитуды напряженностей электрического и магнит­ного полей волны,  — круговая частота волны, k=/v— волновое число, — начальные фазы колебаний в точках с ко­ординатой х=0. В уравнениях (162.7) и (162.8)  одинаково, так как колебания электрического и магнитного векторов в электромагнитной волне происходят с одинаковой фазой.

Энергия электромагнитных волн.Вектор пОЙТИНГАОбъемная плотность w энергии электромагнитной волны скла­дывается из объемных плотностей w_эл (см. (95.8)) и w_м (см. (130.3)) электриче­ского и магнитного полей:w = w_эл+w_м=₀E²/2+₀H²/2.Учитывая выражение (162.4), получим, что плотность энергии электрического и магнитного полей в каждый момент вре­мени одинакова, т. е. w_эл = w_м. Поэтому

w =2w_эл=₀Е² =₀₀ЕН.Умножив плотность энергии w на скорость v распространения волны в среде получим модуль плотности потока энергии:S=wv=EH.Так как векторы Е и Н взаимно пер­пендикулярны и образуют с направлением распространения волны правовинтовую

систему, то направление вектора [ЕН] совпадает с направлением переноса энер­гии, а модуль этого вектора равен ЕН. Вектор плотности потока электромагнит­ной энергии называется вектором Умова— Пойнтинга:

S = [EH].Вектор S направлен в сторону рас­пространения электромагнитной волны, а его модуль равен энергии, переносимой электромагнитной волной за единицу вре­мени через единичную площадку, перпен­дикулярную направлению распростране­ния волны

 Плоские электромагнитные волныИсследуем плоскую электромагнитную волну, распространяющуюся в нейтральной непроводящей среде с постоянными проницаемостями e и m (r = 0, j = 0, e = const, m = const). Направим ось х перпендикулярно к волновым поверхностям. Тогда Е и Н, а значит, и их компоненты по координатным осям не будут зависеть от координат у и 2. Поэтому уравнения (9.21)–(9.24) упрощаются следующим образом:

Уравнение (15.14) и первое из уравнений (15.13) показывают, что Е_х не может зависеть ни от х, ни от t. Уравнение (15.12) и первое из уравнений (15.11) дают такой же результат для H_x Следовательно, отличные от нуля Е_х и Н_х могут быть обусловлены лишь постоянными однородными полями, накладывающимися на электромагнитное поле волны. Само поле волны не имеет составляющих вдоль оси х. Отсюда вытекает, что векторы Е и Н перпендикулярны к направлению распространения волны, т.е. что электромагнитные волны поперечны. В дальнейшем мы будем предполагать постоянные поля отсутствующими и полагать Е_х = Н_х = 0.Два последних уравнения (15.11) и два последних уравнения с (15.13) можно объединить в две независимые группы:

олученные уравнения представляют собой частный случай уравнений (15.8) и (15.9).

Напомним, что Е_х = Е_z = 0 и Н_х = Н_y = 0, так что Е_у = Е и Н_z = H. Мы сохранили в уравнениях (15.17) и (15.18) индексы у и z при Е и H, чтобы подчеркнуть то обстоятельство, что векторы Е и Н направлены вдоль взаимно перпендикулярных осе y и r.

Простейшим решением уравнения (15.17) является функция

E_y = E_mcos(w t – kx + a ₁). (15.19)

Решение уравнения (15.18) имеет аналогичный вид:

H_z = Н_т cos(w t – kх + a ₁). (15.20)

В этих формулах w – частота волны, k – волновое число, равное w /u , a ₁ и a ₂ – начальные фазы колебаний в точках с координатой х = 0.

На рисунке 15.1 показана “моментальная фотография” плоской электромагнитной волны. На рисунке видно, что векторы Е и Н образуют с направлением распространения волны правовинтовую систему.

В фиксированной точке пространства векторы Е и Н изменяются со временем по гармоническому закону. Они одновременно увеличиваются от нуля, затем через 1/4 периода достигают наибольшего значения, причем, если Е направлен вверх, то Н направлен вправо (смотрим вдоль направления, по которому распространяется волна). Еще через 1/4 периода оба вектора одновременно обращаются в нуль. Затем опять достигают наибольшего значения, но на этот раз Е направлен вниз, а Н влево. И, наконец, по завершении периода колебания векторы снова обращаются в нуль. Такие изменения векторов Е и Н происходят во всех точках пространства, но со сдвигом по фазе, определяемым расстоянием между точками, отсчитанными вдоль оси х.

 

Билет 20.

Предположим, что две монохроматические световые волны, накладываясь друг на друга, возбуждают в определенной точке пространства колебания одинакового направ­ления: х₁=А₁ cos( t + ₁) и x₂ = A₂ cos( t + ₂). Под х понимают напряженность элект­рического Е или магнитного Н полей волны; векторы Е и Н колеблются во взаимно перпендикулярных плоскостях. Напряженности электрического и магнит­ного полей подчиняются принципу суперпозиции (см. § 80 и 110). Амплитуда резуль­тирующего колебания в данной точке .Так как волны когерентны, то cos(₂ — ₁) имеет постоянное во времени (но свое для каждой точки пространства) значение, поэтому интенсивность результирующей волны (I ~ А²) (172.1В точках пространства, где cos(₂—₁)>0, интенсивность I>I₁+I₂, где cos(₂—₁)<0, интенсивность I<I₁+I₂. Следовательно, при наложении двух (или нескольких) коге­рентных световых волн происходит пространственное перераспределение светового потока, в результате чего в одних местах возникают максимумы, а в других — мини­мумы интенсивности. Это явление называется интерференцией света.

Для некогерентных волн разность ₂—₁ непрерывно изменяется, поэтому среднее во времени значение cos(₂—₁) равно нулю, и интенсивность результирующей волны всюду одинакова и при I₁=I₂ равна 2I₁ (для когерентных волн при данном условии в максимумах I=4I₁, в минимумах I=0).

Для получения когерентных световых волн применяют метод разделения волны, излучаемой одним источником, на две части, которые после прохождения разных оптических путей накладываются друг на друга, и наблюдается интерференци­онная картина.

Пусть разделение на две когерентные волны происходит в определенной точке О. До точки M, в которой наблюдается интерференционная картина, одна волна в среде с показателем преломления п₁ прошла путь s₁, вторая — в среде с показателем преломления n₂ — путь s₂. Если в точке О фаза колебаний равна t, то в точке М первая волна возбудит колебание A₁cos(t–s₁/v₁), вторая волна — колебание A₂cos(t–s₂/v₂), где v₁=c/n₁, v₂=c/n₂ — соответственно фазовая скорость первой и второй волны. Разность фаз колебаний, возбуждаемых волнами в точке М, равна

(учли, что  /с = 2/с = 2/₀, где ₀ — длина волны в вакууме). Произведение геомет­рической длины s пути световой волны в данной среде на показатель n преломления этой среды называется оптической длиной пути L, a  = L₂ – L₁ — разность оптических длин проходимых волнами путей — называется оптической разностью хода. Если оптическая разность хода равна целому числу длин волн в вакууме

(172.2)

то  = ±2т, и колебания, возбуждаемые в точке М обеими волнами, будут проис­ходить в одинаковой фазе. Следовательно, (172.2) является условием интерференционного максимума.

Если оптическая разность хода

(172.3)

то  = ±2(т+1), и колебания, возбуждаемые в точке М обеими волнами, будут происходить в противофазе. Следовательно, (172.3) является условием интерференционного минимума.

Билет 21.

Когерентность и монохроматичность световых волн

Интерференцию света можно объяснить, рассматривая интерференцию волн. Необходимым условием интерференции волн является их когерентность, т. е. согласованное протекание во времени и пространстве нескольких колебательных или волновых процессов. Этому условию удовлетворяют монохроматические волны — не­ограниченные в пространстве волны одной определенной и строго постоянной частоты. Taк как ни один реальный источник не дает строго монохроматического света, то волны, излучаемые любыми независимыми источниками света, всегда некогерентны.

Понять физическую причину немонохроматичности, а следовательно, и некогерентности волн, испускаемых двумя независимыми источниками света, можно исходя из самого механизма испускания света атомами. В двух самостоятельных источниках света атомы излучают независимо друг от друга. В каждом из таких атомов процесс излучения конечен и длится очень короткое время (  10^–8с). За это время возбужден­ный атом возвращается в нормальное состояние и излучение им света прекращается. Возбудившись вновь, атом снова начинает испускать световые волны, но уже с новой начальной фазой. Так как разность фаз между излучением двух таких независимых атомов изменяется при каждом новом акте испускания, то волны, спонтанно излуча­емые атомами любого источника света, некогерентны. Прерывистое излучение света атомами в виде отдельных коротких импульсов называется волновым цугом.

Любой немонохроматический свет можно представить в виде совокупности сменя­ющих друг друга независимых гармонических цугов. Средняя продолжительность одного цуга _ког называется временем когерентности. Когерентность существует только в пределах одного цуга, и время когерентности не может превышать время излучения, т. е. _ког < .

Если волна распространяется в однородной среде, то фаза колебаний в определен­ной точке пространства сохраняется только в течение времени когерентности _ког. За это время волна распространяется в вакууме на расстояние l_ког =с_ког, называемое длиной когерентности (или длиной цуга). Таким образом, длина когерентности есть расстояние, при прохождении которого две или несколько волн утрачивают когерент­ность. Отсюда следует, что наблюдение интерференции света возможно лишь при оптических разностях хода, меньших длины когерентности для используемого источ­ника света.

Для описания когерентных свойств волн в плоскости, перпендикулярной направлению их распространения, вводится понятие пространственной когерентности. Два источника, размеры и взаимное расположение которых позволяют (при необходимой степени монохроматичности света) наблюдать интерференцию, называются пространственно-когерентными. Радиусом когерентности (или длиной пространственной когерентности) называется максимальное поперечное направлению распространения волны расстояние, на котором возможно проявление интерференции. Таким образом, пространственная когерентность определяется ради­усом когерентности. Радиус когерентности

где  — длина волны света,  — угловой размер источника.

Билет 22.

Интерференция света в тонких пленках (рис. 249)

Оптическая разность хода, возникающая между двумя интерферирующими лучами от точки О до плоскости АВ,

где показатель преломления окружающей пленку среды принят равным 1, а член ± ₀/2 обусловлен потерей полуволны при отражении света от границы раздела. OC=CB=d/cosr, OA = OB sin i = 2d tg r sin i. Учитывая для данного случая закон преломления sin i = n sin r, получим

С учетом потери полуволны для оптической разности хода получим

(174.1)

Для случая, изображенного на рис. 249 (п>n₀),

В точке Р будет интерференционный максимум, если (см. (172.2))

(174.2)

и минимум, если (см. (172.3))

(174.3)

Интерференция, как известно, наблюдается, только если удвоенная толщина пластинки меньше длины когерентности падающей волны.

1 . Полосы равного наклона (интерференция от плоскопараллельной пластинки). Из выражений (174.2) и (174.3) следует, что интерференционная картина в плоскопараллельных пластинках (пленках) определяется величинами ₀, d, п и i. Для данных ₀, d, и n каждому наклону i лучей соответствует своя интерференционная полоса. Ин­терференционные полосы, возникающие в результате наложения лучей, падающих на плоскопараллельную пластинку под одинаковыми углами, называются полосами равного наклона.

Лучи 1' и 1" (рис. 250), параллельны друг другу, так как пластинка плоскопараллельна. Следовательно, ин­терферирующие лучи 1' и 1" «пересекаются» только в бесконечности, поэтому говорят, что полосы равного наклона локализованы в бесконечности. Для их наблюдения исполь­зуют собирающую линзу и экран (Э), расположенный в фокальной плоскости линзы. Параллельные лучи 1' и 1" соберутся в фокусе F линзы, в эту же точку придут и другие лучи (луч 2), параллельные лучу 1, в результате чего увеличивается общая интенсивность. Лучи 3, наклоненные под другим углом, соберутся в другой точке Р фокальной плоскости линзы.

2 . Полосы равной толщины (интерференция от пластинки переменной толщины). Пусть на клин падает плоская волна, направле­ние распространения которой совпадает с параллельными лучами 1 и 2 (рис. 251). Рассмотрим лучи 1' и 1", отразившиеся от верхней и нижней поверхностей клина. При определенном взаимном положении клина и линзы лучи 1' и 1" пересекутся в некоторой точке А, являющейся изображением точки В. Так как лучи 1' и 1" когерентны, они будут интерферировать. Если источник расположен довольно далеко от поверхности клина и угол  ничтожно мал, то оптическая разность хода между интерферирующими лучами 1' и 1" может быть с достаточной степенью точности вычислена по формуле (174.1), где d — тол­щина клина в месте падения на него луча. Лучи 2' и 2" собираются линзой в точке А'. Оптическая разность хода уже определяется толщиной d'. Таким образом, на экране возникает система интерференционных полос. Каждая из полос возникает при отражении от мест пластинки, имеющих одинаковую толщину. Интерференционные полосы, возникающие в резуль­тате интерференции от мест одинаковой толщины, называются полосами равной толщины.

Так как верхняя и нижняя грани клина не параллельны между собой, то лучи 1' и 1" (2' и 2") пересекаются вблизи пластинки. Таким образом, полосы равной толщины локализованы вблизи поверхности клина. Если свет падает на пластинку нормально, то полосы равной толщины локализуются на верхней поверхности клина.

Рис.251

Билет 23. Дифракция света. Принцип Гюйгенса — Френеля

Дифракцией называется огибание волнами препятствий, встречающихся на их пути, или любое отклонение распространения волн вблизи препятст­вий от законов геометрической оптики.Согласно принципу Гюйгенса — Френеля, световая волна, возбуждаемая каким-ли­бо источником S, может быть представлена как результат суперпозиции когерентных вторичных волн, «излучаемых» фиктивными источниками. Такими источниками могут служить бесконечно малые элементы любой замкнутой поверхности, охватывающей источник S. Обычно в качестве этой поверхности выбирают одну из волновых поверх­ностей, поэтому все фиктивные источники действуют синфазно. Волны, распространяющиеся от источника, являются результатом интерференции всех коге­рентных вторичных волн. Френель исключил возможность возникновения обратных вторичных волн и предположил, что если между источником и точкой наблюдения находится непрозрачный экран с отверстием, то на поверхности экрана амплитуда вторичных волн равна нулю, а в отверстии — такая же, как при отсутствии экрана.

Метод зон Френеля. Прямолинейное распространение света

П ринцип Гюйгенса — Френеля в рамках волновой теории должен был ответить на вопрос о прямолинейном распространении света. Френель решил эту задачу, рассмот­рев взаимную интерференцию вторичных волн и применив прием, получивший назва­ние метода зон Френеля.

Френель разбил волновую поверхность Ф на кольцевые зоны такого размера, чтобы расстояния от краев зоны до М отличались на /2, т. е. Р₁М – Р₀М = Р₂М – Р₁М = Р₃М – Р₂М = ... = /2. Подобное разбиение фронта волны на зоны можно выполнить, проведя с центром в точ­ке М сферы радиусами b + , b + 2 , b + 3 , ... . Так как колебания от соседних зон проходят до точки М расстояния, отличающиеся на /2, то в точку М они приходят в противоположной фазе и при наложении эти колебания будут взаимно ослаблять друг друга. Поэтому амплитуда результирующего светового колебания в точке М: (177.1)где А₁, А₂, ... — амплитуды колебаний, возбуждаемых 1-й, 2-й, ..., т-й зонами.Для оценки амплитуд колебаний найдем площади зон Френеля. Пусть внешняя граница m-й зоны выделяет на волновой поверхности сферический сегмент высоты h_m (рис. 258). Площадь m-й зоны Френеля равна _m = _m – _m–1, где _m–1 —площадь сферического сегмента, выделяемого внешней границей (m – 1)-й зоны.

(177.2) учитывая, что <<a и <<b, получим : (177.3)

Площадь сферического сегмента и площадь т-й зоны Френеля соответственно равны

(177.4)

Выражение (177.4) не зависит от т, следовательно, при не слишком больших т площа­ди зон Френеля одинаковы. Таким образом, построение зон Френеля разбивает волно­вую поверхность сферической волны на равные зоны.

Согласно предположению Френеля, действие отдельных зон в точке М тем меньше, чем больше угол _т (рис. 258) между нормалью n к поверхности зоны и направлением на М, т. е. действие зон постепенно убывает от центральной (около Р₀) к периферичес­ким. Кроме того, интенсивность излучения в направлении точки М уменьшается с ростом т и вследствие увеличения расстояния от зоны до точки М. Учитывая оба этих фактора, можем записать

Общее число зон Френеля, умещающихся на полусфере, очень велико. Поэтому в качестве допустимо­го приближения можно считать, что амплитуда колебания А_m от некоторой m-й зоны Френеля равна среднему арифметическому от амплитуд примыкающих к ней зон, т. е.

(177.5)

Тогда выражение (177.1) можно записать в виде (177.6)

так как выражения, стоящие в скобках, согласно (177.5), равны нулю, а оставшаяся часть от амплитуды последней зоны ±А_m/2 ничтожно мала.

Т. o. амплитуда результирующих колебаний в произвольной точке М определяется действием только половины центральной зоны Френеля. Следовательно, действие всей волновой поверхности на точку М сводится к действию ее малого участка, меньшего центральной зоны.

Если в выражении (177.2) положим, что высота сегмента h<<а (при не слишком больших т), тогда . Подставив сюда значение (177.3), найдем радиус внешней границы т-й зоны Френеля:

( 177.7)

Сле­довательно, распространение света от S к М происходит так, будто световой поток распространяется внутри очень узкого канала вдоль SM, т.е. прямолинейно. Таким образом, принцип Гюйгенса — Френеля позволяет объяснить прямолинейное распро­странение света в однородной среде.