Методы долгосрочного прогнозирования
Трендовые модели
Расчетные формулы:
Модели постоянногой роста:
-
линейная;
Модели увеличивающегося роста:
-
парабола,
-
показательная;
при
>1
-
степенная
Модели уменьшающегося роста:
-
логарифмическая
при <1 – степенная
-
гиперболическая
-
модифицированная экспонента
0<r<1
- тренд Гомперца
Комбинированные модели
-
логистический тренд
Доверительный интервал на момент времени n+t (t-период упреждения):
,
где
-
%
квантиль распределения
Стьюдента с n-k
степенями свободы, где k-число
оцениваемых параметров;
-
стандартная ошибка прогноза,
-
стандартная ошибка уравнения модели.
Пример решения типовой задачи в Excel
Среднедушевые денежные доходы населения (в месяц) РФ
год |
сред.ден.дох., руб. |
1998 |
1010,2 |
1999 |
1658,9 |
2000 |
2281,1 |
2001 |
3062 |
2002 |
3947,2 |
2003 |
5167,4 |
2004 |
6399 |
2005 |
8088,3 |
2006 |
10154,8 |
2007 |
12440,2 |
2008 |
14663,6 |
2009 |
16895 |
2010 |
18958,4 |
2011 |
21280 |
2012 |
23551,1 |
2013 |
26128,2 |
1) Подобрать кривую роста (трендовую модель ) к временному ряду, отражающему среднедушевые денежные доходы населения (в месяц) РФ
2) получить точечные и интервальн ые прогнозы объема продаж на 3 года.
Решение с помощью Excel
1. Ввод исх одн ых данных, построение графики жинамики временного ряда.
2.
Расчет абсолютн ых приростов
год |
сред.ден.дох., руб. |
абсолютные приросты |
1998 |
1010,2 |
|
1999 |
1658,9 |
648,7 |
2000 |
2281,1 |
622,2 |
2001 |
3062 |
780,9 |
2002 |
3947,2 |
885,2 |
2003 |
5167,4 |
1220,2 |
2004 |
6399 |
1231,6 |
2005 |
8088,3 |
1689,3 |
2006 |
10154,8 |
2066,5 |
2007 |
12440,2 |
2285,4 |
2008 |
14663,6 |
2223,4 |
2009 |
16895 |
2231,4 |
2010 |
18958,4 |
2063,4 |
2011 |
21280 |
2321,6 |
2012 |
23551,1 |
2271,1 |
2013 |
26128,2 |
2577,1 |
3. О пределение типа роста по «Линейчатой» диаграмме, построенной
для абсолютн ых приростов.
Как показывает анализ диаграммы, временной ряд имеет тенденцию увеличивающегося роста. Известно, что для моделирования такого типа роста используются модели:
- парабола,
- показательная;
при >1 – степенная
4. Подготовка исходных данных для построения указанных моделей и
оформление их в в иде таблицы.
t |
t^2 |
ln t |
ln y |
1 |
1 |
0 |
6,917904 |
2 |
4 |
0,6931472 |
7,41391 |
3 |
9 |
1,0986123 |
7,732413 |
4 |
16 |
1,3862944 |
8,026824 |
5 |
25 |
1,6094379 |
8,280762 |
6 |
36 |
1,7917595 |
8,550125 |
7 |
49 |
1,9459101 |
8,763897 |
8 |
64 |
2,0794415 |
8,998174 |
9 |
81 |
2,1972246 |
9,225702 |
10 |
100 |
2,3025851 |
9,428688 |
11 |
121 |
2,3978953 |
9,593124 |
12 |
144 |
2,4849066 |
9,734773 |
13 |
169 |
2,5649494 |
9,850002 |
14 |
196 |
2,6390573 |
9,965523 |
15 |
225 |
2,7080502 |
10,06693 |
16 |
256 |
2,7725887 |
10,17077 |
5. Нахождение коэффициентов трендовых моделей с помощью «Пакета анализа» Excel.
Модель - парабола,
ВЫВОД ИТОГОВ |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
Регрессионная статистика |
|
|
|
|
|
||||||
Множественный R |
0,99907 |
|
|
|
|
|
|||||
R-квадрат |
0,99814 |
|
|
|
|
|
|||||
Нормированный R-квадрат |
0,997854 |
|
|
|
|
|
|||||
Стандартная ошибка |
386,7958 |
|
|
|
|
|
|||||
Наблюдения |
16 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Дисперсионный анализ |
|
|
|
|
|||||||
|
df |
SS |
MS |
F |
Значимость F |
|
|||||
Регрессия |
2 |
1,04E+09 |
5,22E+08 |
3488,746 |
1,78E-18 |
|
|||||
Остаток |
13 |
1944943 |
149611 |
|
|
|
|||||
Итого |
15 |
1,05E+09 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Коэффициенты |
Стандартная ошибка |
t-статистика |
P-Значение |
Нижние 95% |
Верхние 95% |
|||||
Y-пересечение |
290,7579 |
330,5593 |
0,879594 |
0,395048 |
-423,372 |
1004,888 |
|||||
t |
404,1178 |
89,49656 |
4,515456 |
0,000581 |
210,7722 |
597,4633 |
|||||
t^2 |
77,58908 |
5,117851 |
15,16048 |
1,21E-09 |
66,53263 |
88,64552 |
|||||
Таким образом , в рассматриваемом случае парабола имеет вид
Нанесем параболу на график. Для этого надо щелкнуть правой кнопкой мыши и выбрать «добавить линию тренда», далее выбрать Полиномиальный, второго порядка.
Модель - показательная.
Прологарифмируем
ВЫВОД ИТОГОВ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Регрессионная статистика |
|
|
|
|
|
|
Множественный R |
0,981331 |
|
|
|
|
|
R-квадрат |
0,96301 |
|
|
|
|
|
Нормированный R-квадрат |
0,960368 |
|
|
|
|
|
Стандартная ошибка |
0,201504 |
|
|
|
|
|
Наблюдения |
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дисперсионный анализ |
|
|
|
|
||
|
df |
SS |
MS |
F |
Значимость F |
|
Регрессия |
1 |
14,79934 |
14,79934 |
364,4802 |
2,02E-11 |
|
Остаток |
14 |
0,568455 |
0,040604 |
|
|
|
Итого |
15 |
15,3678 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Коэффициенты |
Стандартная ошибка |
t-статистика |
P-Значение |
Нижние 95% |
Верхние 95% |
Y-пересечение |
7,146595 |
0,10567 |
67,63143 |
5,17E-19 |
6,919955 |
7,373234 |
t |
0,208632 |
0,010928 |
19,09136 |
2,02E-11 |
0,185194 |
0,232071 |
Отсюда
,
,
Нанесем кривую на график. Для этого надо щелкнуть правой кнопкой мыши и выбрать «добавить линию тренда», далее выбрать Экспоненциальный.
Модель
Прологарифмируем
ВЫВОД ИТОГОВ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Регрессионная статистика |
|
|
|
|
|
|
Множественный R |
0,983292 |
|
|
|
|
|
R-квадрат |
0,966864 |
|
|
|
|
|
Нормированный R-квадрат |
0,964497 |
|
|
|
|
|
Стандартная ошибка |
0,190718 |
|
|
|
|
|
Наблюдения |
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дисперсионный анализ |
|
|
|
|
||
|
df |
SS |
MS |
F |
Значимость F |
|
Регрессия |
1 |
14,85857 |
14,85857 |
408,501 |
9,32E-12 |
|
Остаток |
14 |
0,509228 |
0,036373 |
|
|
|
Итого |
15 |
15,3678 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Коэффициенты |
Стандартная ошибка |
t-статистика |
P-Значение |
Нижние 95% |
Верхние 95% |
Y-пересечение |
6,502293 |
0,128772 |
50,49476 |
3,04E-17 |
6,226105 |
6,778481 |
ln t |
1,261183 |
0,0624 |
20,21141 |
9,32E-12 |
1,127349 |
1,395017 |
Отсюда
,
,
,
Нанесем кривую на график. Для этого надо щелкнуть правой кнопкой мыши и выбрать «добавить линию тренда», далее выбрать Степенной.
