5.3 Контрольні запитання та завдання

1. Перерахувати основні особливості функцій, для яких застосовується таблично-алгоритмічний метод.

2. Яким чином визначають початкове і кінцеве значення аргументу для інтервалу при розрахунку ступеневої функції?

3. Приведіть основні співвідношення для приведення аргументу до інтервальних значень і обчислення функції по її інтервальному значенню.

4. Поясните основні етапи обчислення ступеневої функції таблично-алгоритмічним методом?

6 Обчислення показникової та логарифмічної функцій таблично-алгорітмичним методом

6.1 Мета заняття:

Вивчити на прикладах обчислень показникової та логарифмічної функцій можливості таблично-алгоритмічного методу.

6.2. Методичні вказівки

Під час проектування спецпроцесорів обчислення показникової та логарифмічної функцій вводять як базові операції. Окрім цього, обчислення заданих функцій необхідне при використанні логарифмічної системи числення з метою скорочення часу виконання операцій множення, ділення та ін. Застосування таблично-алгоритмічного методу до показникової і логарифмічної функцій можливе з будь-якою основою “q”. Надалі розглядатимемо випадок q=2, як практично найбільш прийнятний.

6.2.1. Обчислення показникової функції. Нехай є показникова функція вигляду:

(6.1)

де х - дійсне число.

З (6.1) виходить, що зміна аргументу на “k” одиниць (k – ціле число) призводить до зміни функції у 2^k рази. Покажемо це.

Введемо позначки:

(6.2)

де x_ін – значення аргументу на інтервалі задавання функції або інтервальне значення аргументу.

Тоді

(6.3)

де y_ін ­– інтервальне значення функції.

Таким чином, якщо зобразити функцію y_ін у табличній формі на деякому інтервалі з заданою відносною поxибкою, можливе обчислення функції y для області зміни аргументу, обмеженої тільки розрядною сіткою, з тією ж відносною поxибкою. При цьому з (6.3) слід, що для обчислення y виконується тільки операція зсуву.

Для показникової функції доцільно вибирати два інтервали табличного зображення функцій:

X_поч = 0, x_кін = 1  для х ≥ 0, де y_поч = 1; y_кін = 2 і

x_поч = 0, x_кін = -1 для х ≤ 0, де y_поч = 1; y_кін= 0.5.

Розрахунок табличних значень функції виконується таким чином.

1. Визначається відносна похибка обчислень функції y, виходячи з аналізу задачі та структури спецпроцесора. На практичному занятті y може бути задана викладачем.

2. Обчислюється перша похідна функції y′ у точках початкового y_поч і кінцевого значення y_кін табличного інтервалу. Визначається найбільше по модулеві з цих двох значень похідної. Позначимо значення функції в точці з найбільшої похідної через .

3. Визначається крок розбивки аргументу x у табличному інтервалі.

(6.4)

де

4. Визначається число розрядів n_x двійкового коду аргументу в табличному інтервалі, відповідно до рівняння (5.4а)

5. Визначається число розрядів n_y двійкового представлення функції відповідно до рівняння (5.5а)

6. Виконується обчислення табличних значень функції y_ін з кроком х для табличних значень аргументу. На практичних заняттях, як таблиця, може бути використаний калькулятор.

Процедура обчислення функції полягає ось в чому 7.

Виконується, якщо це необхідно, зведення аргументу x до інтервальних значень x_ін за допомогою співвідношення (6.2).

За значенням аргументу x_ін з таблиці вибирається значення функції y_ін, за яким відповідно до співвідношення (6.3) знаходиться значення функції y.

Остаточно сформулюємо правило обчислення показникової функції в двійковій системі числення.

Якщо значення аргументу знаходиться в інтервалі табличного зображення функції, x  [ x_поч, x_кін ), значення функції визначається з таблиці. В тих випадках, коли x  [ x_н, x_к ), для дробової частини значення аргументу визначається відповідне до нього табличне значення функції, яке зсувається на “k” розрядів ліворуч, якщо x > 0 або на “k” розрядів праворуч, якщо x < 0.

Приклад проектування таблиці ПЗП для обчислювача показникової функції.

Нехай y = 2^10,31

Обчислення виконаємо з відносною точністю: y = 2^-10   10^-3

1. Маємо інтервал табличного зображення функції:

x_поч = 0; x_кін = 1; y_поч = 1; y_кін = 2.

2. Обчислимо похідну функції в точках: y_поч, y_кін :

, тоді

; .

Таким чином, і, отже .

3. Визначимо крок розбивки відповідно до (6.4)

.

4. Визначаємо число розрядів представлення аргументу – n_x.

5. Визначаємо число розрядів представлення функції – n_y.

.

,

.

6. Під час проектування спецпроцесора обчислюємо 2¹⁰ інтервальниx значень функції з кроком x і точністю 10 розрядів.

В нашому випадку при обчисленні y_ін скористуємось калькулятором, задаючи n_x – розрядний аргумент і знімаючи n_y – розрядний результат.

Приклад процедури обчислення показникової функції.

1. Виділяємо з аргументу відповідно до (6.2) k и x_ін.

x = 10.31; k = 10; x_ін = 0.0100111101₂  0.31₁₀

2. Знайдемо значення функції.

По калькулятору y_ін = 1.0011110101₂ = 1.23926₁₀.

Тоді відповідно до (6.3) маємо

y = 2¹⁰·1.0011110101₂ = 100111101011₂ = 1269₁₀.

Точне значення по калькулятору – y  = 1269.46.

Відносна похибка обчислення: y = 0.00039.

6.2.2 Обчислення логарифмічної функції.

Нехай є логарифмічна функція вигляду:

y=log₂x (6.5)

де х – додатне число.

З (6.5.) виходить, що зміна аргументу в 2^k рази (k – ціле додатне або від’ємне число), призводить до зміни цілої частини функції y на k одиниць.

Справді, нехай аргумент зображений у формі:

де x_m – мантиса, k – порядок.

Після логарифмування цього виразу отримаємо:

(6.6)

Отже, якщо зобразити функцію в табличному вигляді на деякому інтервалі, на якому модуль значення функції менший за одиницю, то обчислення цього значення функції в усій області зміни аргументу можливе тільки за допомогою простиx операцій зсуву і вибірки з пам'яті.

Для логарифмічної функції доцільно вибрати два інтервали табличного зображення функції.

x_поч = 1, x_кін = 2 для y ≥ 0, де y_поч = 0, y_кін = 1

x_поч = 0.5, x_кін = 1 для y ≤ 0, де y_поч = -1, y_кін = 0.

Тоді (6.6) приймає вигляд:

(6.7)

де

Розрахунок табличних значень функції виконується аналогічно тому, як це робиться для показникової функції. При цьому крок розбивки інтервалу визначаємо так:

(6.8)

де – значення функції в точці табличного інтервалу з найбільшою похідною.

Обчислення виконаємо з відносною приведеною похибкою y = 2^–10. Наприклад, для інтервалу [1, 2) абсолютна похибка y приводиться до значення функції при x=2: y(2) = 1. Тоді

y = yy(2). (6.9)

Процедура обчислення функції в двійковій системі числення полягає ось в чому [7].

Нехай аргумент зображений двійковим n_x – розрядним кодом. Можливі два випадки.

В першому значення аргументу знаходиться в інтервалі табличного зображення функції, x [ x_н, x_к ). В цьому випадку значення функції визначається з таблиці.

Другий випадок: x [ x_н, x_к ). Виконується зсув аргументу на k розрядів праворуч, якщо x > 2 і на k розрядів ліворуч, якщо x < 0.5. Після цього значущі розряди аргументу потрапляють до інтервалу табличного зображення функції, що дозволяє отримати табличне значення функції y_ін. Для отримання значення функції y до табличного значення функції слід приписати ліворуч від крапки число k з урахуванням знака, таким чином, що для x  2, k - додатне, а для x ≤ 0.5, k – від’ємне.

Приклад проектування таблиці ПЗП для обчислювача логарифмічної функції.

Нехай .25, δy=2^-10.

Обчислення виконаємо з відносною приведеною похибкою y = 2^–10. Для інтервалу [1, 2) згідно (6.9):

y = 

1. Маємо інтервал табличного зображення функції:

X_поч = 1; x_кін = 2; y_поч = 0; y_кін = 1.

2. Обчислимо похідну функції в точках: y_поч, y_кін:

, тоді

; .

Таким чином, і, отже .

3. Визначимо крок розбивки відповідно до (6.8)

.

4. Визначаємо число розрядів представлення аргументу - n_x.

5. Визначаємо число розрядів представлення функції – n_y.

.

6. Під час проектування спецпроцесора обчислюємо 2¹¹ інтервальниx значень функції з кроком x і точністю 10 розрядів.

В нашому випадку при обчисленні y_ін скористаємося калькулятором, задаючи n_x – розрядний аргумент і знімаючи n_y – розрядний результат.

Приклад процедури обчислення логарифмічної функції.

1. Визначаємо значення “k”:

x = 10011110110.01₂ , x_ін = 1.00111101100₂  1.2402₁₀.

Тобто для попадання в табличний інтервал необхідно виконати зсув аргументу на 10 розрядів вправо по відношенню до розрядної сітки. Таким чином, k = 10.

2. Знаходимо y_ін з таблиці (в нашому випадку по калькулятору)

y_ін = 0.010011111₂ = 0.3106₁₀. Отже, відповідно до (6.7) маємо y = 10.3106.

Точне значення по калькулятору – y  = 10.3109.

Відносна похибка обчислення: y = 0.0003.