3. Квантование дискретных сообщений

Таким образом, передачу практически любых сообщений λ(t) можно свести к передаче их отсчетов, или чисел λ_i = λ(it), следующих друг за другом с интервалом дискретности t  1/2F_m . Тем самым непрерывное (бесконечное) множество возможных значений сообщения λ(t) заменяется конечным числом его дискретных значений {λ(i t)}. Однако сами эти числа имеют непрерывную шкалу уровней (значений), то есть принадлежат опять же континуальному множеству. Для абсолютно точного представления таких чисел необходимо теоретически бесконечное число разрядов. Вместе с тем на практике нет необходимости в абсолютно точном представлении значений λ_i , как и любых чисел вообще.

Во-первых, сами источники сообщений обладают ограниченным динамическим диапазоном и вырабатывают исходные сообщения с определенным уровнем искажений и ошибок. Этот уровень может быть большим или меньшим, но абсолютной точности воспроизведения достичь невозможно.

Во-вторых, передача сообщений по каналам связи всегда производится в присутствии различного рода помех. Поэтому принятое сообщение всегда в определенной степени отличается от переданного, то есть на практике невозможна абсолютно точная передача сообщений при наличии помех в канале связи.

Наконец, сообщения передаются для их восприятия и использования получателем. Получатели же информации - органы чувств человека, исполнительные механизмы и т.д. - также обладают конечной разрешающей способностью, то есть не замечают незначительной разницы между абсолютно точным и приближенным значениями воспроизводимого сообщения. Порог чувствительности к искажениям также может быть различным, но он всегда есть.

С учетом этих замечаний процедуру дискретизации сообщений можно продолжить, а именно - подвергнуть отсчеты λ_i квантованию.

Процесс квантования состоит в замене непрерывного множества значений отсчетов _i  ( _min , _max ) дискретным множеством { ₍₁₎,...,_(m) } из алфавита A{ λ_i }. Тем самым точные значения чисел _i заменяются их приблизительными (округленными до ближайшего разрешенного уровня) значениями.

Интервал между соседними разрешенными уровнями _i , или уровнями квантования,  = _(i+1) - _(i) называется шагом квантования.

Различают равномерное и неравномерное квантование. В большинстве случаев применяется равномерное квантование (рис. 2), при котором шаг квантования постоянный:  = λ_i - λ_i-1 = const.

Однако иногда преимущество дает неравномерное квантование, при котором шаг квантования _i разный для различных λ_i (рис. 3).

Рис. 3а Рис. 3б

Квантование приводит к искажению сообщений. Если результат квантования отсчета _i обозначить как λ_iq ,то

(11)

где _i  разность между квантованным и точным значениями _i, называемая ошибкой квантования, или шумом квантования.

Поскольку квантование приводит к появлению ошибок и потере некоторой части информации, можно определить “цену” таких потерь d(  , λ_q ) и среднюю величину ошибки, обусловленной квантованием;

(12)

Чаще всего в качестве “цены потерь” используется квадратичная функция вида

(13)

В этом случае мерой ошибок квантования служит дисперсия (мощность) этих ошибок. Для равномерного M-уровневого квантования с шагом  дисперсия ошибок квантования определяется следующим образом:

. (14)

Абсолютное значение ошибки квантования не превосходит половины шага квантования /2, и тогда при большом количестве уровней квантования M и малой величине  плотность вероятностей ошибок квантования f(_i ) можно считать равномерной на интервале +/2 …  /2:

(15)

Тогда дисперсия ошибки квантования D(q) = σ_q² будет такой

. (16)

Удобным показателем относительного уровня искажений, обусловленных квантованием, является отношение сигнал/шум на выходе устройства квантования – отношение мощности сообщения к дисперсии шума квантования:

. (17)

Очевидно, что отношение сигнал/шум на выходе квантователя растет с ростом числа уровней квантования и в пределе при М → ∞ сигнал становится аналоговым, а отношение сигнал/шум – равным бесконечности.

Таким образом, процедура квантования данных позволяет заменить абсолютно точное их представление, требующее бесконечного числа разрядов, приближенным с той или иной точностью приближения.

Цель работы:

С использованием математического моделирования на ЭВМ получить практические представления о процедуре и эффектах, возникающих при дискретизации и квантовании непрерывных сигналов. Исследовать влияние параметров дискретизации и квантования на качество сигнала, восстановленного по его цифровым отсчетам.

Основные положения:

Исследование процедур дискретизации и квантования непрерывных сигналов и эффектов, возникающих при их выполнении, производится путем математического моделирования в МАТЛАБ, а также с использованием средств визуального программирования СИМУЛИНК.

Сразу же следует отметить, что моделирование на цифровой ЭВМ производится в дискретной форме, то есть, все моделируемые процедуры выполняются в дискретной форме и над дискретными моделями сигналов. Вместе с тем, если модель сигнала имеет частоту дискретизации, значительно (на несколько порядков) превышающую ширину спектра этого сигнала, то можно считать этот сигнал практически непрерывным.

Моделирование процедур дискретизации и квантования в ходе выполнения работы будет производиться для двух типов сигналов - гармонического (синусоидального) сигнала и низкочастотного случайного сигнала.

Выполнение работы: