Многоканальная смо с отказами

В подавляющем большинстве случаев на практике СМО являются многоканальными, т.е. модели с обслуживающими каналами . Процесс массового обслуживания, описываемый данной моделью, характеризуется интенсивностью входного потока , при этом параллельно может обслуживаться не более n клиентов (заявок). Средняя продолжительность обслуживания одной заявки равняется (1/на интенсивность потока обслуживания). Входной и выходной потоки являются пуассоновскими. Режим функционирования того или иного обслуживающего канала не влияет на режим функционирования других обслуживающих каналов системы, причем длительность процедуры обслуживания каждым из каналов является случайной величиной, подчиненной экспоненциальному закону распределения. Конечная цель использования n параллельно включенных обслуживающих каналов заключается в повышении (по сравнению с одноканальной системой) скорости обслуживания требований за счет обслуживания n клиентов. Граф состояний многоканальной СМО с отказами имеет вид:

_{Состояния СМО имеют следующую интерпретацию:}

_{-все каналы свободны;}

_{- занят один канал, остальные свободны;}

- заняты ровно k каналов, остальные свободны;

- заняты все n каналов.

Уравнение Колмогорова для вероятностей состояния системы , будет иметь следующий вид:

Начальные условия решения системы:

Стационарное решение системы имеет вид:

Формулы для вычисления называются формулами Эрланга. Определим вероятностные характеристики функционирования многоканальной СМО с отказами в стационарном режиме:

1. Вероятность отказа , т.к. заявка получает отказ, если приходит в момент, когда все n каналов заняты. Величина характеризует полноту обслуживания входящего потока;

2. Вероятность того, что заявка будет принята к обслуживанию (она же – относительная пропускная способность системы ) дополняет до единицы ;

3. Абсолютная пропускная способность: ;

4. Среднее число каналов, занятых обслуживанием . Величина характеризует степень загрузки СМО.

Задача: Пусть n-канальная СМО представляет собой вычислительный центр с тремя взаимозаменяемыми ПЭВМ для решения поступающих задач. Поток задач, поступающих в вычислительный центр, имеет интенсивность задач в час. Средняя продолжительность обслуживания . Поток заявок на решение задач и поток обслуживания этих заявок являются простейшими. Требуется вычислить финальные значения:

1. Вероятности состояния вычислительного центра;

2. Вероятности отказа в обслуживании заявки;

3. Относительной пропускной способности вычислительного центра;

4. Абсолютной пропускной способности вычислительного центра;

5. Среднего числа занятых ПЭВМ в вычислительном центре.

Определите, сколько дополнительно надо приобрести ПЭВМ, чтобы увеличить пропускную способность вычислительного центра в 2 раза.

Решение: Определим интенсивность потока обслуживания .

Предельная интенсивность потока заявок: .

1. Финальные вероятность состояний найдем по формулам Эрланга:

2. Вероятность отказа в обслуживании заявки:

3. Относительная пропускная способность вычислительного центра:

4. Абсолютная пропускная способность вычислительного центра:

5. Среднее число занятых каналов:

Таким образом, при установившемся режиме работы СМО в среднем будет занято 1,5 компьютера из трех, остальные 1,5 будут простаивать. Работу рассмотренного вычислительного центра нельзя считать удовлетворительной, т.к. вычислительный центр не обслуживает заявки в среднем в 18% случаев. Очевидно, что пропускную способность вычислительного центра при данных можно увеличить только за счет увеличения числа ПЭВМ.

Определим количество используемых ПЭВМ для рассмотренного вычислительного центра, для сокращения числа необслуженных заявок в 10 раз, т.е. чтобы вероятность отказа в решении задач не превосходила 0,018 (доверительная вероятность 0,01).

Для n=4:

Для n=5:

Для n=6:

Вывод: Анализируя полученные данные, следует отметить, что расширение числа каналов вычислительного центра при данных значениях до 6 единиц ПЭВМ позволит обеспечить удовлетворение заявок на решение задач на 99,22% , т.к. при n=6 вероятность отказа в обслуживании составляет 0,0078.